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统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|MAP Estimation with Latent Variable

如果你也在 怎样代写贝叶斯分析Bayesian Analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。贝叶斯分析Bayesian Analysis一种统计推断方法(以英国数学家托马斯-贝叶斯命名),它允许人们将关于人口参数的先验信息与样本中包含的信息证据相结合,以指导统计推断过程。首先指定一个感兴趣的参数的先验概率分布。然后通过应用贝叶斯定理获得并结合证据,为参数提供一个后验概率分布。后验分布为有关该参数的统计推断提供了基础。

贝叶斯分析Bayesian Analysis自1763年以来,我们现在所知道的贝叶斯统计学并没有一个明确的运行。尽管贝叶斯的方法被拉普拉斯和当时其他领先的概率论者热情地接受,但在19世纪却陷入了不光彩的境地,因为他们还不知道如何正确处理先验概率。20世纪上半叶,一种完全不同的理论得到了发展,现在称为频繁主义统计学。但贝叶斯思想的火焰被少数思想家保持着,如意大利的布鲁诺-德-菲内蒂和英国的哈罗德-杰弗里斯。现代贝叶斯运动开始于20世纪下半叶,由美国的Jimmy Savage和英国的Dennis Lindley带头,但贝叶斯推断仍然极难实现,直到20世纪80年代末和90年代初,强大的计算机开始广泛使用,新的计算方法被开发出来。随后,人们对贝叶斯统计的兴趣大增,不仅导致了贝叶斯方法论的广泛研究,也导致了使用贝叶斯方法来解决天体物理学、天气预报、医疗保健政策和刑事司法等不同应用领域的迫切问题。

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统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|MAP Estimation with Latent Variable

When latent variables are introduced to the estimation problem (such as in the case of unsupervised learning), MAP estimation can become much more cumbersome. Assume a joint distribution that factorizes as follows:
$$
p\left(x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)}, \theta \mid \alpha\right)=p(\theta \mid \alpha) \prod_{i=1}^n p\left(z^{(i)} \mid \theta, \alpha\right) p\left(x^{(i)} \mid z^{(i)}, \theta, \alpha\right)
$$
The latent structures are denoted by the random variables $Z^{(i)}$, and the observations are denoted by the random variables $X^{(i)}$. The posterior has the form:
$$
p\left(\theta, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} \mid x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, \alpha\right)
$$
The most comprehensive way to get a point estimate from this posterior through MAP estimation is to marginalize $Z^{(i)}$ and then find $\theta^$ as following: $$ \theta^=\arg \max \theta \sum{z^{(1)}, \ldots, z^{(n)}} p\left(\theta, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} \mid x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, \alpha\right)
$$
However, such an estimate often does not have an analytic form, and even computing it numerically can be inefficient. One possible way to avoid this challenge is to change the optimization problem in Equation 4.9 to:
$$
\theta^*=\arg \max \theta \max {z^{(1)}, \ldots, z^{(n)}} p\left(\theta, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} \mid x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, \alpha\right)
$$

统计代写|贝叶斯分析代考Bayesian Analysis代写|POSTERIOR APPROXIMATIONS BASED ON THE MAP SOLUTION

In cases where $\Theta \subset \mathbb{R}^K$, the mode of the posterior can be used to obtain an approximate distribution of the posterior. This approximation assumes that the posterior behaves similarly to a multivariate normal distribution with a mean at the posterior mode (note that the mode and the mean of the multivariate normal distribution are identical).

Let $x$ be an observation from the likelihood $p(x \mid \theta)$ with a prior $p(\theta)$. This normal approximation to the posterior (also called “Laplace approximation”) assumes that:
$$
p(\theta \mid x) \approx f\left(\theta \mid \theta^, \Sigma^\right)
$$

where
$$
f\left(\theta \mid \theta^, \Sigma^\right)=\frac{1}{(2 \pi)^{-K / 2} \sqrt{\left|\operatorname{det}\left(\Sigma^\right)\right|}} \exp \left(-\frac{1}{2}\left(\theta-\theta^\right)^{\top}\left(\Sigma^\right)^{-1}\left(\theta-\theta^\right)\right),
$$
is the density of the multivariate normal distribution with mean $\theta^$ (the mode of the posterior) and covariance matrix $\Sigma^$ defined as inverse of the Hessian of the negated log-posterior at point $\theta^:$ $$ \left(\Sigma^\right)_{i, j}^{-1}=\frac{\partial^2 h}{\partial \theta_i \partial \theta_j}\left(\theta^*\right)
$$
with $h(\theta)=-\log p(\theta \mid X=x)$. Note that the Hessian must be a positive definite matrix to serve as the covariance matrix of the distribution in Equation 4.11. This means that the Hessian has to be a symmetric matrix. A necessary condition is that the second derivatives of the logposterior next to the mode are continuous.

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贝叶斯分析代写

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当潜在变量被引入估计问题时 (例如在无监督学习的情况下),MAP 估计会变得更加麻烦。假设一个联合分布 分解如下:
$$
p\left(x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)}, \theta \mid \alpha\right)=p(\theta \mid \alpha) \prod_{i=1}^n p\left(z^{(i)} \mid \theta, \alpha\right) p\left(x^{(i)} \mid z^{(i)}, \theta, \alpha\right)
$$
潜在结构由随机变量表示 $Z^{(i)}$ ,并且观测值由随机变量表示 $X^{(i)}$. 后验具有以下形式:
$$
p\left(\theta, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} \mid x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, \alpha\right)
$$
通过 MAP 估计从此后验得到点估计的最全面的方法是边缘化 $Z^{(i)}$ 然后找到 缺少上标或下标参数 如下:
$$
\theta^{=} \arg \max \theta \sum z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} p\left(\theta, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} \mid x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, \alpha\right)
$$
然而,这样的估计通常没有解析形式,即使用数值计算也可能效率低下。避免这一挑战的一种可能方法是将公 式 4.9 中的优化问题更改为:
$$
\theta^*=\arg \max \theta \max z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} p\left(\theta, z^{(1)}, \ldots, z^{(n)} \mid x^{(1)}, \ldots, x^{(n)}, \alpha\right)
$$

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在这种情况下 $\Theta \subset \mathbb{R}^K$ ,后验的模态可用于获得后验的近似分布。该近似假设后验行为类似于均值为后验模的 多元正态分布 (请注意,多元正态分布的模数和均值相同)。
让 $x$ 从可能性观察 $p(x \mid \theta)$ 与事先 $p(\theta)$. 这种对后验的正态近似(也称为“拉普拉斯近似”)假设:
缺少 \left 或额外的 \right }
在哪里
缺少 \left 或额外的 \right }
$\begin{array}{ll}\text { 是具有均值的多元正态分布的密度缺少上标或下标参数 } & \text { (后验模式) 和协方差矩 }\end{array}$ 阵枿少上标或下标参数 定义为点处取反对数后验的 Hessian 矩阵的倒数 $\theta$ :
缺少 \left 或额外的 \right }
和 $h(\theta)=-\log p(\theta \mid X=x)$. 请注意,Hessian 矩阵必须是正定矩阵才能作为方程 4.11 中分布的协方差矩 阵。这意味着 Hessian 矩阵必须是对称矩阵。一个必要条件是模式旁边的对数后验的二阶导数是连续的。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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