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数据科学代写|数据分析代写Data Analysis代考|Strongly Convex Case

如果你也在 怎样代写数据分析Advanced Data Analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数据分析Advanced Data Analysis在网络理论的背景下,复杂网络是指具有非微观拓扑特征的图(网络)–这些特征在简单的网络(如格子或随机图)中不会出现,但在代表真实系统的网络中经常出现。复杂网络的研究是一个年轻而活跃的科学研究领域(自2000年以来),主要受到现实世界网络的经验发现的启发,如计算机网络、生物网络、技术网络、大脑网络、气候网络和社会网络。

数据分析Advanced Data Analysis大多数社会、生物和技术网络显示出实质性的非微观拓扑特征,其元素之间的连接模式既不是纯粹的规则也不是纯粹的随机。这些特征包括学位分布的重尾、高聚类系数、顶点之间的同态性或异态性、社区结构和层次结构。在有向网络的情况下,这些特征还包括互惠性、三联体重要性概况和其他特征。相比之下,过去研究的许多网络的数学模型,如格子和随机图,并没有显示这些特征。最复杂的结构可以由具有中等数量相互作用的网络实现。这与中等概率获得最大信息含量(熵)的事实相对应。

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Recall from (2.19) that the smooth function $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is strongly convex with modulus $m$ if there is a scalar $m>0$ such that
$$
f(z) \geq f(x)+\nabla f(x)^T(z \quad x)+\frac{m}{2}|z \quad x|^2 .
$$
Strong convexity asserts that $f$ can be lower bounded by quadratic functions. These functions change from point to point, but only in the linear term. It also tells us that the curvature of the function is bounded away from zero. Note that if $f$ is strongly convex and $L$-smooth, then $f$ is bounded above and below by simple quadratics (see (2.9) and (2.19)). This “sandwiching” effect enables us to prove the linear convergence of the steepest-descent method.

The simplest strongly convex function is the squared Euclidean norm $|x|^2$. Any convex function can be perturbed to form a strongly convex function by adding any small positive multiple of the squared Euclidean norm. In fact, if $f$ is any $L$-smooth function, then
$$
f_\mu(x)=f(x)+\mu|x|^2
$$
is strongly convex for $\mu$ large enough. (Exercise: Prove this!)
As another canonical example, note that a quadratic function $f(x)=$ $\frac{1}{2} x^T Q x$ is strongly convex if and only if the smallest eigenvalue of $Q$ is strictly positive. We saw in Theorem 2.8 that a strongly convex $f$ has a unique minimizer, which we denote by $x^*$.

Strongly convex functions are, in essence, the “easiest” functions to optimize by first-order methods. First, the norm of the gradient provides useful information about how far away we are from optimality. Suppose we minimize both sides of the inequality (3.9) with respect to $z$. The minimizer on the lefthand side is clearly attained at $z=x^$, while on the right-hand side, it is attained at $x-\nabla f(x) / m$. By plugging these optimal values into (3.9), we obtain $$ \begin{aligned} f\left(x^\right) & \geq f(x) \quad \nabla f(x)^T\left(\frac{1}{m} \nabla f(x)\right)+\frac{m}{2}\left|\frac{1}{m} \nabla f(x)\right|^2 \
& =f(x) \quad \frac{1}{2 m}|\nabla f(x)|^2 .
\end{aligned}
$$
By rearrangement, we obtain
$$
|\nabla f(x)|^2 \geq 2 m\left[f(x) \quad f\left(x^\right)\right] $$ If $|\nabla f(x)|<\delta$, we have $$ f(x) \quad f\left(x^\right) \leq \frac{|\nabla f(x)|^2}{2 m} \leq \frac{\delta^2}{2 m} .
$$

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It is straightforward to convert these convergence expressions into complexities using the techniques of Appendix A.2. We have, from (3.7), that an iteration $k$ will be found such that $\left|\nabla f\left(x^k\right)\right| \leq \epsilon$ for some $k \leq T$, where
$$
T \geq \frac{2 L\left(f\left(x^0\right) \quad f^\right)}{\epsilon^2} $$ For the general convex case, we have from (3.8) that $f\left(x^k\right) \quad f^ \leq \epsilon$ when
$$
k \geq \frac{L\left|x^0 \quad x^\right|^2}{2 \epsilon} $$ For the strongly convex case, we have from (3.15) that $f\left(x^k\right)-f^ \leq \epsilon$ for all $k$ satisfying
$$
k \geq \frac{L}{m} \log \left(\left(f\left(x^0\right) \quad f^*\right) / \epsilon\right)
$$

Note that in all three cases, we can get bounds in terms of the initial distance to optimality $\left|x^0 \quad x^\right|$ rather than the initial optimality gap $f\left(x^0\right) \quad f^$ by using the inequality
$$
f\left(x^0\right) \quad f^* \leq \frac{L}{2}\left|x^0 \quad x^*\right|^2 .
$$
The linear rate (3.17) depends only logarithmically on $\epsilon$, whereas the sublinear rates depend on $1 / \epsilon$ or $1 / \epsilon^2$. When $\epsilon$ is small (for example, $\epsilon=$ $10^{-6}$ ), the linear rate would appear to be dramatically faster, and, indeed, this is usually the case. The only exception would be when $m$ is extremely small, so that $m / L$ is of the same order as $\epsilon$. The problem is extremely ill conditioned in this case, and there is little difference between the linear rate (3.17) and the sublinear rate (3.16).

All of these bounds depend on knowledge of $L$. What happens when we do not know $L$ ? Even when we do know it, is the steplength $\alpha_k \equiv 1 / L$ good in practice? We have reason to suspect not, since the inequality (3.5) on which it is based uses the conservative global upper bound $L$ on curvature. (A sharper bound could be obtained in terms of the curvature in the neighborhood of the current iterate $x^k$.) In the remainder of this chapter, we expand our view to more general choices of search directions and steplengths.



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回想一下 (2.19) 中的平滑函数 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 对模数是强凸的 $m$ 如果有一个标量 $m>0$ 这样
$$
f(z) \geq f(x)+\nabla f(x)^T(z \quad x)+\frac{m}{2}|z \quad x|^2
$$
强凸性断言 $f$ 可以是二次函数的下界。这些函数随点变化,但仅在线性项中变化。它还告诉我们,函数的曲率远 离䨐。请注意,如果 $f$ 是强凸的并且 $L$ – 光滑,然后 $f$ 由简单的二次方程上下限 (见 (2.9) 和 (2.19))。这种 “夹心”效应使我们能够证明最速下降法的线性收玫性。
最简单的强凸函数是平方欧几里德范数 $|x|^2$. 通过添加平方欧几里得范数的任何小的正倍数,可以扰动任何凸函 数以形成强凸函数。事实上,如果 $f$ 是任何 $L-$ 平滑函数,然后
$$
f_\mu(x)=f(x)+\mu|x|^2
$$
是强凸的 $\mu$ 足够大。(练习: 证明这个!)
作为另一个典型的例子,请注意二次函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^T Q x$ 是强凸的当且仅当最小的特征值 $Q$ 是严格积极的。 我们在定理 2.8 中看到强凸 $f$ 有一个独特的最小化楍,我们用 $x^*$.
强凸函数本质上是“最容易”用一阶方法优化的函数。首先,梯度的范数提供了关于我们离最优有多远的有用信 息。假设我们最小化不等式 (3.9) 的两边 $z$. 左侧的最小化器在缺少上标或下标参数 而在右侧,它是在 $x-\nabla f(x) / m$. 通过将这些最优值代入 (3.9),我们得到
缺少 \left 或额外的 $\backslash$ right
通过重排,我们得到
缺少 $\backslash$ left 或额外的 $\backslash$ right
如果 $|\nabla f(x)|<\delta ,$ 我们有
缺少 \left 或额外的 \right }

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使用附录 A.2 中的技术可以直接将这些收敛表达式转换为复杂度。我们从 (3.7) 得到一个迭代 $k$ 会发现这样 $\left|\nabla f\left(x^k\right)\right| \leq \epsilon$ 对于一些 $k \leq T ,$ 在哪里
缺少 \left 或额外的 \right }
对于一般的凸情况,我们从 (3.8) 中得到 $f\left(x^k\right) \quad f \leq \epsilon$ 什么时候
缺少 \left 或额外的 \right }
对于强凸的情况,我们从 (3.15) 中得到 $f\left(x^k\right)-f \leq \epsilon$ 对全部 $k$ 令人满意
$$
k \geq \frac{L}{m} \log \left(\left(f\left(x^0\right) \quad f^\right) / \epsilon\right) $$ 请注意,在所有这三种情况下,我们都可以根据与最优性的初始距离获得界限 缺少 \left 或额外的 \right 而不是最初的最优性差距缺少上标或下标参数 通 过使用不等式 $$ f\left(x^0\right) \quad f^ \leq \frac{L}{2}\left|x^0 \quad x^*\right|^2
$$
线性速率 (3.17) 仅以对数方式取决于 $\epsilon$ ,而次线性率取决于 $1 / \epsilon$ 或者 $1 / \epsilon^2$. 什么时候 $\epsilon$ 很小 (例如, $\left.\epsilon=10^{-6}\right)$ , 线性速率似乎快得多,事实上,通常是这种情况。唯一的例外是 $m$ 非常小,所以 $m / L$ 与以下顺序相同 $\epsilon$. 在这种 情况下,问题是病态的,线性速率 (3.17) 和次线性速率 (3.16) 之间几乎没有区别。
所有这些界限都取决于以下知识 $L$. 当我们不知道时会发生什么 $L$ ? 即使我们确实知道,步长是 $\alpha_k \equiv 1 / L$ 在实 践中好吗? 我们有理由怀疑不是,因为它所基于的不等式 (3.5) 使用了保守的全局上限 $L$ 曲率上。(根据当前 迭代邻域的曲率可以获得更清晰的边界 $x^k$.) 在本章的剩余部分,我们将我们的观点扩展到搜索方向和步长的更 一般选择。

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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