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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Regular functions and maps in Euclidean space

如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中,常微分方程(ODE)是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的(见,例如Riccati方程)。

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So far, the concepts introduced and the results proved relate to objects defined in open subsets of Euclidean space. In other words we have assumed that the coordinates in our analysis are kept unchanged throughout. But the study of a PDE frequently requires changing coordinates. The natural framework is then that of manifolds and fiber bundles. Here we are faced with an exposition problem: almost every concept introduced in this chapter and used in the sequel can be formulated within one of three categories: smooth, real-analytic, complex-analytic. It is convenient to follow a unified approach: throughout this chapter we shall use the adjective “regular” and the notation $\mathcal{R}$ for either $C^{\infty}, C^\omega$ or $O$ (the latter meaning holomorphic). When $\mathcal{R}=O$ the base field is $\mathbb{K}=\mathbb{C}$; in the other two cases $\mathbb{K}=\mathbb{R}$. Depending on the meaning of “regular” one often says that we are reasoning within the smooth (i.e., $C^{\infty}$ ), or the real-analytic (i.e., $C^\omega$ ) or the complex-analytic category.

In this section we recall the definition of a regular manifold and some of the terminology associated with such a structure.

Remark 9.1.1 It should be made clear at the outset that practically everything that will be said in this chapter about our “regular” structures, i.e., either $C^{\infty}$, real- or complex-analytic structures, applies as well to many other structures, for instance Gevrey structures or quasi-analytic structures, intermediate between $C^{\infty}$ and $C^\omega$. These generalizations are self-evident and will not be discussed here.

In $\mathbb{K}^n$ we make use of the Cartesian coordinates which, until specified otherwise, shall be denoted by $x_1, \ldots, x_n$ even when $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.

Notation 9.1.2 Let $\Omega$ be an open subset of $\mathbb{K}^n$. We shall denote by $\mathcal{R}(\Omega)$ the ring of $\mathbb{K}$-valued regular (i.e., $C^{\infty}, C^\omega$ or holomorphic) functions in $\Omega$.
With our choice of the meaning of “regular” the following can be asserted:
(1) The polynomial functions in $\mathbb{K}^n$ are regular.
(2) If $\Omega \subset \mathbb{K}^n$ is an open set then $\mathcal{R}(\Omega)$ can be identified with a subring of the ring of $\mathbb{K}$-valued smooth functions, $C^{\infty}(\Omega$; $\mathbb{K})$.
(3) If $\Omega_1 \subset \Omega_2 \subset \mathbb{K}^n$ the restriction of functions from $\Omega_2$ to $\Omega_1$ induces a ring homomorphism of $\mathcal{R}\left(\Omega_2\right)$ into $\mathcal{R}\left(\Omega_1\right)$.

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For us a regular manifold will be a topological space $\mathcal{M}$ (always countable at infinity, i.e., equal to the union of a sequence of compact subsets) equipped with an assignment $\mathcal{U} \mapsto \mathcal{R}(\mathcal{U}), \mathcal{U}$ being an arbitrary open subset of $\mathcal{M}$ and $\mathcal{R}(\mathcal{U})$ a special subring of the ring $C(\mathcal{U} ; \mathbb{K})$ of the $\mathbb{K}$-valued continuous functions in $\mathcal{U}$. The elements of $\mathcal{R}(\mathcal{U})$ are the regular functions (i.e., $C^{\infty}, C^\omega$ or $\left.O\right)$ in $\mathcal{U}(\mathcal{U}$ itself regarded as a regular manifold). The correspondence $\mathcal{U} \mapsto \mathcal{R}(\mathcal{U})$ must satisfy the following three “axioms”:

(M1) Restriction to any open set $\mathcal{V} \subset \mathcal{U}$ defines a ring homomorphism $\mathcal{R}(\mathcal{U}) \longrightarrow$ $\mathcal{R}(\mathcal{V})$.
(M2) Let $\mathcal{U}=\bigcup_{\iota \in I} \mathcal{U}\iota$ be the union of a family of open subsets of $\mathcal{M}$. If the restriction to $\mathcal{U}\iota$ of a continuous function $f$ in $\mathcal{U}$ belongs to $\mathcal{R}\left(\mathcal{U}_l\right)$ for every $\iota \in I$ then $f \in \mathcal{R}(\mathcal{U})$
(M3) Every point $\wp \in \mathcal{M}$ is contained in an open set $\mathcal{U}$ having the following property: there is a regular isomorphism $\varphi$ of $\mathcal{U}$ onto an open subset of $\mathbb{K}^n$ such that the pullback map $\mathcal{R}(\varphi(\mathcal{U})) \ni f \mapsto f \circ \varphi$ is an algebra isomorphism onto $\mathcal{R}(\mathcal{U})$. The integer $n$ is independent of the point $\varphi$.

Simply phrased, this definition states that we know what the regular (i.e., $C^{\infty}, C^\omega$ or $O$ ) functions in our manifold are. According to (M2)-(M3) the regularity of a function is completely determined by its regularity in a neighborhood of each point of its domain of definition.

The number $n$ is the dimension of the manifold $\mathcal{M}$ and is denoted by $\operatorname{dim}_{\mathbb{K}} \mathcal{M}$ or simply by $\operatorname{dim} \mathcal{M}$ if there is no danger of confusion.

Property (M3) states that the topological space $\mathcal{M}$ is locally Euclidean. If $\mathcal{U}$ and $\varphi$ are as in (M3) the pair $(\mathcal{U}, \varphi)$ is called a local chart in $\mathcal{M}$. We can make use of the map $\varphi$ to pullback from $\mathbb{K}^n$ to $\mathcal{U}$ the Cartesian coordinates $x_j$ : if $\wp \in \mathcal{U}$ we write $x_j(\wp)=x_j(\varphi(\wp))$. This defines a system $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ of local coordinates in $\mathcal{U}$; it is then customary to write $\left(\mathcal{U}, x_1, \ldots, x_n\right)$ rather than $(\mathcal{U}, \varphi)$; we shall often refer to $\left(\mathcal{U}, x_1, \ldots, x_n\right)$ as a coordinate chart (or patch). Note that this convention allows us to use the same notation $f\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ for a function in $\varphi(\mathcal{U})$ and for its pullback $f \circ \varphi$ in the local coordinates $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$. A coordinate change in $\mathcal{U}$ is equivalent to a modification of the $\operatorname{map} \varphi$.

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常微分方程代写

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到目前为止,引入的概念和证明的结果都与欧几里德空间的开放子集中定义的对象有关。换句话说,我们假设分析中的坐标始终保持不变。但是对偏微分方程的研究经常需要改变坐标。自然的框架是流形和纤维束。在这里,我们面临着一个阐述问题:在本章中介绍和在后续章节中使用的几乎每个概念都可以在以下三种类别中表述:光滑,实解析,复解析。遵循统一的方法是方便的:在本章中,我们将使用形容词“正则”和符号$\mathcal{R}$来表示$C^{\ inty}, C^\ ω $或$O$(后者表示全纯的)。当$\mathcal{R}= 0 $时,基域为$\mathbb{K}=\mathbb{C}$;在另外两种情况下$\mathbb{K}=\mathbb{R}$。根据“正则”的含义,人们经常说我们在光滑(即$C^{\ inty}$)或实解析(即$C^\ ω $)或复解析范畴内进行推理。

在本节中,我们回顾正则流形的定义以及与这种结构相关的一些术语。

应该在一开始就明确指出,实际上本章中关于我们的“规则”结构,即C^{\infty}$,实解析结构或复解析结构所说的一切,也适用于许多其他结构,例如介于C^{\infty}$和C^\omega$之间的Gevrey结构或拟解析结构。这些概括是不言而喻的,在这里就不讨论了。

在$\mathbb{K}^n$中,我们使用笛卡尔坐标,除非另有说明,否则即使$\mathbb{K}=\mathbb{C}$,也应表示为$x_1, \ldots, x_n$。

9.1.2设$\Omega$是$\mathbb{K}^n$的一个开子集。我们用$\mathcal{R}(\Omega)$表示$\mathbb{K}$值正则函数(即$C^{\ inty}, C^\ Omega$或全纯)在$\Omega$中的环。
根据我们对“regular”含义的选择,可以断言如下:
(1) $\mathbb{K}^n$中的多项式函数是正则函数。
(2)如果$\Omega \子集\mathbb{K}^n$是一个开集,则$\mathcal{R}(\Omega)$可以被$\mathbb{K}$值光滑函数环的子集$C^{\ inty}(\Omega$;美元$ \ mathbb {K})。
(3)如果$\Omega_1 \子集\Omega_2\子集\mathbb{K}^n$,则函数从$\Omega_2$到$\Omega_1$的限制导出$\mathcal{R}\left(\Omega_2\right)$到$\mathcal{R}\left(\Omega_1\right)$的环同态。

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对我们来说,正则流形将是一个拓扑空间$\mathcal{M}$(总是在无穷处可数,即等于紧子集序列的并集),赋值$\mathcal{U} $映射到$ mathcal{R}(\mathcal{U}),其中$ mathcal{U}$是$\mathcal{M}$和$\mathcal{R}(\mathcal{U})$的任意开子集,$ mathcal{M}$是环$C(\mathcal{U};$\mathbb{K}$中$\mathbb{K}$值连续函数的$\mathbb{K})$。$\mathcal{R}(\mathcal{U})$中的元素是$\mathcal{U}(\mathcal{U}$本身被视为正则流形)中的正则函数(即$C^{\ inty}, C^\omega$或$\left.O\right)$。对应$\mathcal{U} \mapsto \mathcal{R}(\mathcal{U})$必须满足以下三个“公理”:

(M1)对任意开集$\mathcal{V} \子集\mathcal{U}$的约束定义了一个环同态$\mathcal{R}(\mathcal{U}) \ longightarrow $ $\mathcal{R}(\mathcal{V})$。
(M2)设$\mathcal{U}=\bigcup_{\iota \in I} \mathcal{U}\iota$是$\mathcal{M}$的一组开子集的并集。如果连续函数$f$在$\mathcal{U}$中对$\mathcal{U}$的限制属于$\mathcal{R}\左(\mathcal{U}_l\右)$对于每一个$\iota \在$ I$中,则$f \在\mathcal{R}(\mathcal{U})$
(M3) \mathcal{M}$中的每一个点$\wp \都包含在一个开集合$\mathcal{U}$中,它具有以下性质:$\mathcal{U}$的$\varphi$到$\mathbb{K}^n$的一个正则同构,使得回拉映射$\mathcal{R}(\ mathphi (\mathcal{U})) \ni f \mapsto f \circ \varphi$是到$\mathcal{R}(\mathcal{U})$的代数同构。整数$n$与点$\varphi$无关。

简单地说,这个定义表明我们知道流形中的正则函数(即C^{\ inty}, C^\ ω $或O$)是什么。根据(M2)-(M3),一个函数的正则性完全取决于它在其定义域的每个点的邻域内的正则性。

数字$n$是流形$\mathcal{M}$的维数,表示为$\operatorname{dim}_{\mathbb{K}} \mathcal{M}$,如果没有混淆的危险,表示为$\operatorname{dim} \mathcal{M}$。

性质(M3)表明拓扑空间$\mathcal{M}$是局部欧几里德的。如果$\mathcal{U}$和$\v

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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