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如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中,偏微分方程(PDE)是一个方程,它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类,对应于单变量函数。截至2020年,随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程,目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域,如物理学和工程学中无处不在。例如,它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学(薛定谔方程、保利方程等)的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑,如微分几何和变分计算;在其他值得注意的应用中,它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性,存在着广泛的不同类型的偏微分方程,并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此,人们通常认为,偏微分方程没有 “一般理论”,专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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To study the regularity of solutions near the boundary, we localize the problem to a neighborhood of a boundary point by use of a partition of unity: We decompose the solution into a sum of functions that are compactly supported in the sets of a suitable open cover of the domain and estimate each function in the sum separately.
Assuming, as in Section 1.10, that the boundary is at least $C^1$, we may ‘flatten’ the boundary in a neighborhood $U$ by a diffeomorphism $\varphi: U \rightarrow V$ that maps $U \cap \Omega$ to an upper half space $V=B_1(0) \cap\left{y_n>0\right}$. If $\varphi^{-1}=\psi$ and $x=\psi(y)$, then by a change of variables (c.f. Theorem 1.44 and Proposition 3.21) the weak formulation (4.34)-(4.35) on $U$ becomes
$$
\sum_{i, j=1}^n \int_V \tilde{a}{i j} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y_i} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y_j} d y=\int_V \tilde{f} \tilde{v} d y \quad \text { for all functions } \tilde{v} \in H_0^1(V) $$ where $\tilde{u} \in H^1(V)$. Here, $\tilde{u}=u \circ \psi, \tilde{v}=v \circ \psi$, and $$ \tilde{a}{i j}=|\operatorname{det} D \psi| \sum_{p, q=1}^n a_{p q} \circ \psi\left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \circ \psi\right)\left(\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_q} \circ \psi\right), \quad \tilde{f}=|\operatorname{det} D \psi| f \circ \psi .
$$
The matrix $\tilde{a}{i j}$ satisfies the uniform ellipticity condition if $a{p q}$ does. To see this, we define $\zeta=\left(D \varphi^t\right) \xi$, or
$$
\zeta_p=\sum_{i=1}^n \frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \xi_i
$$
Then, since $D \varphi$ and $D \psi=D \varphi^{-1}$ are invertible and bounded away from zero, we have for some constant $C>0$ that
$$
\sum_{i, j=1}^n \tilde{a}{i j} \xi_i \xi_j=|\operatorname{det} D \psi| \sum{p, q=1}^n a_{p q} \zeta_p \zeta_q \geq|\operatorname{det} D \psi| \theta|\zeta|^2 \geq C \theta|\xi|^2
$$

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This book is to a large extent self-contained, with the restriction that the linear theory – Schauder estimates and Campanato theory – is not presented. The reader is expected to be familiar with functional-analytic tools, like the theory of monotone operators. $^4$
The above results give an existence and $L^2$-regularity theory for second-order, uniformly elliptic PDEs in divergence form. This theory is based on the simple a priori energy estimate for $|D u|_{L^2}$ that we obtain by multiplying the equation $L u=f$ by $u$, or some derivative of $u$, and integrating the result by parts.

This theory is a fundamental one, but there is a bewildering variety of approaches to the existence and regularity of solutions of elliptic PDEs. In an attempt to put the above analysis in a broader context, we briefly list some of these approaches and other important results, without any claim to completeness. Many of these topics are discussed further in the references $[\mathbf{9}, \mathbf{1 7}, \mathbf{2 3}]$.
$L^p$-theory: If $1<p<\infty$, there is a similar regularity result that solutions of $L u=f$ satisfy $u \in W^{2, p}$ if $f \in L^p$. The derivation is not as simple when $p \neq 2$, however, and requires the use of more sophisticated tools from real analysis (such as the $L^p$-theory of Calderón-Zygmund operators).
Schauder theory: The Schauder theory provides Hölder-estimates similar to those derived in Section 2.7.2 for Laplace’s equation, and a corresponding existence theory of solutions $u \in C^{2, \alpha}$ of $L u=f$ if $f \in C^{0, \alpha}$ and $L$ has Hölder continuous coefficients. General linear elliptic PDEs are treated by regarding them as perturbations of constant coefficient PDEs, an approach that works because there is no ‘loss of derivatives’ in the estimates of the solution. The Hölder estimates were originally obtained by the use of potential theory, but other ways to obtain them are now known; for example, by the use of Campanato spaces, which provide Hölder norms in terms of suitable integral norms that are easier to estimate directly.
Perron’s method: Perron (1923) showed that solutions of the Dirichlet problem for Laplace’s equation can be obtained as the infimum of superharmonic functions or the supremum of subharmonic functions, together with the use of barrier functions to prove that, under suitable assumptions on the boundary, the solution attains the prescribed boundary values. This method is based on maximum principle estimates.
Boundary integral methods: By the use of Green’s functions, one can often reduce a linear elliptic BVP to an integral equation on the boundary, and then use the theory of integral equations to study the existence and regularity of solutions. These methods also provide efficient numerical schemes because of the lower dimensionality of the boundary.

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偏微分方程代写

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为了研究边界附近解的正则性,我们利用单位划分将问题定位到边界点的邻域:我们将解分解为在合适的开盖集合中紧支持的函数和,并分别估计和中的每个函数。
如第1.10节所述,假设边界至少为$C^1$,我们可以通过将$U \cap \Omega$映射到上半空间$V=B_1(0) \cap\left{y_n>0\right}$的微分同态$\varphi: U \rightarrow V$来“平坦”邻域$U$中的边界。如果$\varphi^{-1}=\psi$和$x=\psi(y)$,则通过变量的变换(参见定理1.44和命题3.21),$U$上的弱式(4.34)-(4.35)变为
$$
\sum_{i, j=1}^n \int_V \tilde{a}{i j} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y_i} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial y_j} d y=\int_V \tilde{f} \tilde{v} d y \quad \text { for all functions } \tilde{v} \in H_0^1(V) $$哪里$\tilde{u} \in H^1(V)$。这里是$\tilde{u}=u \circ \psi, \tilde{v}=v \circ \psi$和$$ \tilde{a}{i j}=|\operatorname{det} D \psi| \sum_{p, q=1}^n a_{p q} \circ \psi\left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \circ \psi\right)\left(\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_q} \circ \psi\right), \quad \tilde{f}=|\operatorname{det} D \psi| f \circ \psi .
$$
若$a{p q}$满足一致椭圆性条件,则矩阵$\tilde{a}{i j}$满足一致椭圆性条件。要看到这一点,我们定义$\zeta=\left(D \varphi^t\right) \xi$或
$$
\zeta_p=\sum_{i=1}^n \frac{\partial \varphi_i}{\partial x_p} \xi_i
$$
然后,因为$D \varphi$和$D \psi=D \varphi^{-1}$是可逆的并且离0有界,我们有一个常数$C>0$
$$
\sum_{i, j=1}^n \tilde{a}{i j} \xi_i \xi_j=|\operatorname{det} D \psi| \sum{p, q=1}^n a_{p q} \zeta_p \zeta_q \geq|\operatorname{det} D \psi| \theta|\zeta|^2 \geq C \theta|\xi|^2
$$

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这本书在很大程度上是自成一体的,限制是线性理论- Schauder估计和Campanato理论-没有提出。期望读者熟悉函数分析工具,如单调算子理论。$^4$
上述结果给出了发散形式的二阶一致椭圆偏微分方程的存在性和$L^2$ -正则性理论。这个理论是基于对$|D u|_{L^2}$的简单的先验能量估计,我们通过将方程$L u=f$乘以$u$,或$u$的一些导数,并将结果按部分积分来获得。

这个理论是一个基本的理论,但是对于椭圆偏微分方程解的存在性和规律性,有各种各样令人眼花缭乱的方法。为了将上述分析置于更广泛的背景中,我们简要地列出了其中的一些方法和其他重要的结果,而不要求其完整性。其中许多主题在参考文献$[\mathbf{9}, \mathbf{1 7}, \mathbf{2 3}]$中有进一步的讨论。
$L^p$ -理论:如果$1<p<\infty$,有一个类似的规律性结果,$L u=f$的解满足$u \in W^{2, p}$如果$f \in L^p$。但是,当$p \neq 2$时推导就不那么简单了,需要使用来自实际分析的更复杂的工具(例如Calderón-Zygmund操作符的$L^p$ -理论)。
Schauder理论:Schauder理论为拉普拉斯方程提供了类似于2.7.2节中推导的Hölder-estimates,如果$f \in C^{0, \alpha}$和$L$具有Hölder连续系数,则提供了对应的$L u=f$解$u \in C^{2, \alpha}$的存在性理论。一般的线性椭圆偏微分方程被视为常系数偏微分方程的扰动,这种方法是有效的,因为在解的估计中没有“导数损失”。Hölder估计值最初是通过使用势理论获得的,但现在已知其他获得它们的方法;例如,通过使用Campanato空间,它提供了Hölder范数,用合适的积分范数表示,更容易直接估计。
Perron方法:Perron(1923)证明了拉普拉斯方程的Dirichlet问题的解可以用超调和函数的极值或次调和函数的极值来求得,并利用势垒函数证明了在边界上适当的假设下,解达到规定的边界值。该方法基于最大原理估计。
边界积分法:利用格林函数,通常可以将线性椭圆型微分方程化为边界上的积分方程,然后利用积分方程理论研究解的存在性和正则性。由于边界的维数较低,这些方法也提供了有效的数值格式。以上翻译结果来自有道神经网络翻译(YNMT)· 通用场景

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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