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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Basic properties of rings

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科,它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如,群的结构是普遍代数中的一个单一对象,它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Basic properties of rings

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Believe it or not, even with all we’ve accomplished, we still haven’t developed a theory to solve equations as simple as $\frac{1}{2} x+1=0$. That’s because the expression $\frac{1}{2} x+1$ isn’t just about multiplication or addition: it involves both operations. Group theory is all about the properties of sets with a single binary operation, so group theory won’t provide the means to solve this type of linear equation. That means we need to develop a new algebraic structure that comes with more than one operation.

Definition 12.1. Let $R$ be a set with two binary operations on $R$, called addition and denoted + , and multiplication and denoted $\cdot$ Then $\langle R,+, \cdot\rangle$ is a ring if and only if the following hold:
(1) $\langle R,+\rangle$ is an abelian group.
(2) $\langle R, \cdot\rangle$ is an associative binary structure.
(3) $a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$ and $(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$ for all $a, b, c \in R$ (the distributive laws).

Before we proceed with examples, some observations about this definition are in order. First, we do just write $a b$ to mean $a \cdot b$ as we did with groups under multiplication, and we simply say that $R$ is a ring without explicitly mentioning the two operations. Second, notice that multiplication in a ring is very, very unstructured. Multiplication is only closed and associative: there need not be a multiplicative identity, and even if there is, there need not be any multiplicative inverses, and just like groups, multiplication need not be commutative. In particular, that means that we should not expect to be able to solve equations involving multiplication, since we need inverses to be able to “undo” an operation. Third, a ring’s additive structure is really, really nice: an abelian group! Addition commutes, and in fact we can now talk about subtraction in a ring by defining $a-b=a+(-b)$. Because of that, we also introduce a notation for the additive identity element: we use the symbol $\mathbf{0}$ to denote the additive identity.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Homomorphisms

Just as we did with groups, we need to develop a notion of maps between rings that preserve structure. Now that we have two operations to deal with, those maps need to preserve both structures.

Definition 12.18. Let $R$ and $R^{\prime}$ be rings and $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ be a function. Then $\phi$ is a (ring) homomorphism if $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ and $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ for all $a, b \in R$. A ring homomorphism $\phi$ is an isomorphism if and only if $\phi$ is also a bijection, and a ring automorphism is a ring isomorphism from a ring to itself. Two rings are isomorphic if and only if there is a ring isomorphism from one ring to the other.

Notice that since ring homomorphisms and isomorphisms are, in fact, group homomorphisms and group isomorphisms under addition, all of the results from group theory still apply to the additive structure of a ring. On the other hand, since the multiplicative structure of a ring isn’t a group structure, we don’t get all of the nice multiplicative properties we might hope for. However, if you have a ring isomorphism, then all of the algebraic properties like commutativity, unity, and inverses are preserved, as well as unity and inverses being mapped to unity and inverses. Yet even with ring homomorphisms, we do get a few nice properties similar to our results from groups.
Theorem 12.19. Let $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ be a ring homomorphism.
(1) $\phi\left(a^n\right)=\phi(a)^n$ for all $a \in R$ and $n \in \mathbb{Z}^{+}$.
(2) If $S$ is a subring of $R$, then $\phi(S)$ is a subring of $R^{\prime}$, and if $S$ is commutative, then $\phi(S)$ is also commutative.
(3) If $S^{\prime}$ is a subring of $R^{\prime}$, then $\phi^{-1}\left(S^{\prime}\right)$ is a subring of $R$.

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抽象代数代写

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信不信由你,即使我们取得了这么多成就,我们仍然没有发展出一种理论来解决$\frac{1}{2} x+1=0$这样简单的方程。这是因为表达式$\frac{1}{2} x+1$不只是关于乘法或加法:它涉及这两种操作。群论是关于具有单个二元操作的集合的性质,所以群论不会提供解决这类线性方程的方法。这意味着我们需要开发一种新的代数结构,它包含不止一种运算。

12.1.定义设$R$是一个集合,在$R$上有两个二进制运算,分别是加法运算,记为+,和乘法运算,记为$\cdot$,那么$\langle R,+, \cdot\rangle$是一个环,当且仅当以下条件成立:
(1) $\langle R,+\rangle$是一个阿贝尔群。
(2) $\langle R, \cdot\rangle$是一个结合二元结构。
(3)所有$a, b, c \in R$(分配律)为$a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$和$(b+c) \cdot a=b \cdot a+c \cdot a$。

在我们继续示例之前,有必要对这个定义进行一些观察。首先,我们只是写$a b$来表示$a \cdot b$,就像我们对乘法组所做的那样,我们只是说$R$是一个环,而没有明确提到这两个操作。其次,注意到环中的乘法是非常非结构化的。乘法只是封闭的和结合的:不需要有乘法的恒等式,即使有,也不需要有乘法的逆,就像群一样,乘法不需要交换。特别是,这意味着我们不应该期望能够解决涉及乘法的方程,因为我们需要逆才能“撤消”操作。第三,环的加性结构非常非常好:一个阿贝尔群!加法交换,实际上我们现在可以通过定义$a-b=a+(-b)$来讨论环中的减法。因此,我们还为可加单位元素引入了一种符号:我们使用符号$\mathbf{0}$来表示可加单位元素。

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就像我们对群体所做的那样,我们需要在环之间建立一种保持结构的地图概念。现在我们有两个操作要处理,这些映射需要保留这两个结构。

12.18.定义让 $R$ 和 $R^{\prime}$ 他响了铃, $\phi: R \rightarrow R^{\prime}$ 是一个函数。然后 $\phi$ 环是同态的吗 $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$ 和 $\phi(a b)=\phi(a) \phi(b)$ 对所有人 $a, b \in R$. 一个环同态 $\phi$ 同构是否当且仅当 $\phi$ 也是一个双射,一个环自同构是一个环到它自己的环同构。两个环是同构的当且仅当从一个环到另一个环存在环同构。

注意,由于环同态和同构实际上是加法下的群同态和群同构,所以群论的所有结果仍然适用于环的加性结构。另一方面,由于环的乘法结构不是群结构,我们没有得到我们希望的所有好的乘法性质。然而,如果你有一个环同构,那么所有的代数性质,如交换性、单位和逆都被保留,以及单位和逆被映射到单位和逆。然而,即使使用环同态,我们也能得到一些与群的结果相似的很好的性质。
定理12.19。设$\phi: R \rightarrow R^{\prime}$为环同态。
(1)所有$a \in R$和$n \in \mathbb{Z}^{+}$为$\phi\left(a^n\right)=\phi(a)^n$。
(2)如果$S$是$R$的子带,则$\phi(S)$是$R^{\prime}$的子带;如果$S$是可交换的,则$\phi(S)$也是可交换的。
(3)如果$S^{\prime}$是$R^{\prime}$的子带,那么$\phi^{-1}\left(S^{\prime}\right)$就是$R$的子带。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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