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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科,它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如,群的结构是普遍代数中的一个单一对象,它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Cayley’s theorem

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What began as a simple example of permutations from geometry gave rise to an interesting concept: recognizing a given group as a subgroup of a symmetric group. Is that possible for all groups? Not only is it true, but the theorem that answers our question is a famous result in abstract algebra.

Lemma 10.14. Let $G$ be a group. For each $g \in G$, define $\lambda_g: G \rightarrow G$ by $\lambda_g(x)=g x$, and let $\Lambda=\left{\lambda_g \mid g \in G\right}$. Likewise, for each $g \in G$, define $\rho_g: G \rightarrow G$ by $\rho_g(x)=x g$, and let $P=\left{\rho_g \mid g \in G\right}$. Then both $\Lambda$ and $P$ are subgroups of $S_G$.

Theorem 10.15 (Cayley’s Theorem). Let $G$ be a group. Then $G$ is isomorphic to a subgroup of $S_G$. In particular, every finite group of order $n$ is isomorphic to a subgroup of $S_n$

Notice that what Cayley’s theorem says is that every group $G$, no matter how large, is a subgroup of the (rather large) symmetric group $S_G$. You might be able to find a subgroup isomorphic to $G$ in a “smaller” symmetric group, and there might be multiple subgroups of $S_G$ isomorphic to $G$. In fact, if you used the lemma in your proof of Cayley’s theorem, then you showed that there are, in fact, at least two ways to view $G$ as a subgroup of $S_G$ : as the subgroups $\Lambda$ and $P$ of $S_G$.

Exercise 10.16. Let’s apply Cayley’s theorem to some known groups. For each small group $G$ below, find a collection of permutations of the elements of $G$ that correspond to $\Lambda$ and to $P$ as given by Cayley’s theorem.
(1) $G=\mathbb{Z}_3$
(3) $G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
(2) $G=\mathbb{Z}_4$
(4) $G=S_3$

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Orbits and cycles

Our ability to recognize the dihedral groups as subgroups of the symmetric groups suggests that we might be able to think of any permutation of a set $A$ as “moving” the elements of $A$ around. Let’s see if we can develop this idea by considering what repeated application of an individual permutation in $S_A$ does to an element of the set $A$.

Definition 11.1. Let $A$ be a set, let $a \in A$, and let $\sigma \in S_A$. Then the orbit of $a$ under $\sigma$ is the $\operatorname{set}\left{\sigma^n(a) \mid n \in \mathbb{Z}\right}$
Theorem 11.2. Let $A$ be a set, and let $\sigma \in S_A$. Then the relation $\sim$ on $A$ defined by $a \sim b$ if and only if $b$ is in the orbit of $a$ under $\sigma$
is an equivalence relation on $A$ whose equivalence classes are the orbits of the elements of A under $\sigma$.

Definition 11.3. Let $A$ be a set. A permutation of $A$ is a cycle if and only if the permutation has at most one orbit with more than one element, and the length of a cycle is the number of elements in its largest orbit. A cycle of length one is the trivial cycle, and a cycle of length two is a transposition. We say two nontrivial cycles are disjoint if their largest orbits are disjoint.

Exercise 11.4. List all the orbits of the given element of $S_6$. Which are cycles? Which are transpositions?
(1) $f(1)=5, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=6, f(5)=3, f(6)=4$.
(2) $f(1)=2, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, f(5)=6, f(6)=3$.
(3) $f(1)=1, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=6, f(5)=2, f(6)=4$.
(4) $f(1)=4, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=1, f(5)=5, f(6)=6$.

(5) $f(1)=3, f(2)=1, f(3)=6, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=2$.
(6) $f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6$.

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抽象代数代写

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从一个简单的几何排列例子开始,产生了一个有趣的概念:将给定群识别为对称群的子群。这对所有群体都可能吗?它不仅是正确的,而且回答我们问题的定理是抽象代数中一个著名的结果。

引理10.14。让$G$成为一个团体。对于每个$g \in G$,用$\lambda_g(x)=g x$定义$\lambda_g: G \rightarrow G$,并让$\Lambda=\left{\lambda_g \mid g \in G\right}$。同样,对于每个$g \in G$,用$\rho_g(x)=x g$定义$\rho_g: G \rightarrow G$,并让$P=\left{\rho_g \mid g \in G\right}$。那么$\Lambda$和$P$都是$S_G$的子组。

定理10.15(凯莱定理)。让$G$成为一个团体。那么$G$与$S_G$的子群是同构的。特别地,每个阶为$n$的有限群都同构于的子群 $S_n$

注意,凯利定理说的是,每个群$G$,无论多大,都是(相当大的)对称群$S_G$的子群。您可能能够在“较小的”对称组中找到与$G$同构的子组,并且可能有多个与$G$同构的$S_G$子组。事实上,如果你在凯利定理的证明中使用了这个引理,那么你就证明了,事实上,至少有两种方法可以把$G$看作$S_G$的子群:$S_G$的子群$\Lambda$和$P$。

练习10.16。让我们把凯莱定理应用到一些已知的群上。对于下面的每一个小组$G$,根据Cayley的定理,找到对应于$\Lambda$和$P$的$G$的元素排列的集合。
(1) $G=\mathbb{Z}_3$
(3) $G=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
(2) $G=\mathbb{Z}_4$
(4) $G=S_3$

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我们将二面体群识别为对称群的子群的能力表明,我们可能能够将集合$A$的任何排列视为$A$的元素的“移动”。让我们看看是否可以通过考虑$S_A$中单个排列的重复应用对集合$A$中的一个元素的影响来发展这个想法。

11.1.定义设$A$为一组,设$a \in A$,设$\sigma \in S_A$。那么$\sigma$下面的$a$轨道就是$\operatorname{set}\left{\sigma^n(a) \mid n \in \mathbb{Z}\right}$
定理11.2。设$A$为一组,设$\sigma \in S_A$。那么$a \sim b$定义的$A$上的关系$\sim$当且仅当$b$在$\sigma$下的$a$的轨道上
是$A$上的等价关系,其等价类是$\sigma$下A元素的轨道。

11.3.定义设$A$为集合。$A$的排列是一个循环当且仅当该排列最多有一个包含多个元素的轨道,周期的长度是其最大轨道上的元素数。长度为1的循环是平凡循环,长度为2的循环是转置。我们说两个非平凡循环是不相交的如果它们最大的轨道是不相交的。

练习11.4。列出$S_6$中给定元素的所有轨道。哪些是周期?哪些是换位?
(1) $f(1)=5, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=6, f(5)=3, f(6)=4$。
(2) $f(1)=2, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=5, f(5)=6, f(6)=3$。
(3) $f(1)=1, f(2)=5, f(3)=3, f(4)=6, f(5)=2, f(6)=4$。
(4) $f(1)=4, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=1, f(5)=5, f(6)=6$。
(5) $f(1)=3, f(2)=1, f(3)=6, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=2$。
(6) $f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4, f(5)=5, f(6)=6$。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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