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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题,涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科,它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如,群的结构是普遍代数中的一个单一对象,它被称为群的变种。

抽象代数Abstract Algebra在代数(数学中一个已经很广泛的部门)中,抽象代数(偶尔也称为现代代数)是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的,目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来,更具体地说,是与初等代数,即在计算和推理中使用变量来表示数字。

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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

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We now arrive at a foundational theorem in the subject. This theorem provides a comprehensive list of all abelian groups that are finitely generated. Unfortunately, the particular details of the proof require techniques that we haven’t covered, but its power is too great to leave this theorem alone. Instead, we’ll prove aspects of the theorem that will give you some ideas as to why it might be true. We’ll begin with an interesting theorem.

Theorem 8.15. Let $G$ be an abelian group. If $T$ is the set of all elements of $G$ with finite order, then $T$ is a subgroup of $G$.

Definition 8.16. Let $G$ be an abelian group. The subgroup $T$ of all elements of $G$ with finite order is called the torsion subgroup of $G$. If the torsion subgroup of $G$ is the trivial group (that is, the only element of $G$ with finite order is $e$ ), then we say $G$ is torsion free.

Exercise 8.17. Many students mistakenly remember the torsion subgroup as “the set of all elements of finite order of a group.” That would be true, if the group itself were abelian. But nonabelian groups are far more problematic. Show that the two matrices $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \ 2 & 0\end{array}\right]$ each have finite order, but their product has infinite order. This shows that the set of elements of finite order need not be closed in a nonabelian group.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The first isomorphism theorem

We’re now in a position to put what we’ve learned in the past three chapters together. Specifically, we learned how to construct quotient groups in Chapter 6; the structure of cyclic groups in Chapter 7; and the nature of finitely generated abelian groups in Chapter 8. What we’d like to know now is how to identify the structure of quotient groups. What we need is a way to tell when a quotient group is isomorphic to a well known group, such as a cyclic group or a finitely generated abelian group. Such a method is our first and most important theorem of the chapter.

Theorem 9.1 (The First Isomorphism Theorem). Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a homomorphism with kernel $K$. Then the function $\bar{\phi}: G / K \rightarrow \phi(G)$ given by $\bar{\phi}(g K)=\phi(g)$ is a welldefined isomorphism.

Corollary 9.2. Let $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ be a surjective homomorphism with kernel $K$. Then $G^{\prime}$ is isomorphic to $G / K$.

With this theorem, we have the power to make intuition precise. Think of quotient groups as collapsing part of the group together, leaving only part of the group left. When this happens, what structure do we have left after the quotient? We’ll make an educated guess and then use the corollary to the First Isomorphism Theorem to verify our guess! The next example and the first few theorems that follow should help develop this intuition.

Example 9.3. Let’s see an example of how to use the First Isomorphism Theorem on a fact we already know: $\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$. What we should do is find an onto homomorphism $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$ whose kernel is specifically $\langle n\rangle$. So, let’s use Theorem 7.7 and define a homomorphism $\phi$ by $\phi(1)=1$ (so that $\phi(x)=\phi(x \cdot 1)=x \phi(1)$, which means that $\phi(x)$ is the remainder of $x$ divided by $n$ ). We simply need to show that $\phi$ is onto and that $\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$.

The first is easy: for any $b \in \mathbb{Z}_n$, we have $\phi(b)=\phi(b \cdot 1)=b \phi(1)=b$. We now need to compute the kernel of $\phi$, and since $\operatorname{Ker}(\phi)$ are all those integers $x$ such that $\phi(x)=0$, we need to find all integers $x$ such that $\phi(x)$ is a multiple of $n$. But $\phi(x)$ is simply the remainder of $x$ when divided by $n$. That means that $x$ itself must be a multiple of $n$, so $\operatorname{Ker}(\phi)$ is the set of all multiples of $n$. That’s what $\langle n\rangle$ is, and thus $\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$. By the First Isomorphism Theorem, $\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$.

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finitely generated abelian groups

抽象代数代写

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现在我们得到了这门学科的一个基本定理。这个定理提供了有限生成的所有阿贝尔群的一个综合列表。不幸的是,证明的具体细节需要我们没有涉及的技术,但它的力量太大了,不能把这个定理单独留下。相反,我们将证明这个定理的一些方面这将给你一些关于为什么它可能是正确的想法。我们将从一个有趣的定理开始。

定理8.15。设$G$是一个阿贝尔群。如果$T$是$G$中所有有限阶元素的集合,那么$T$是$G$的一个子群。

8.16.定义设$G$是一个阿贝尔群。所有具有有限阶的$G$元素的子群$T$称为$G$的扭转子群。如果$G$的扭转子群是平凡群(即$G$的唯一有限阶元素是$e$),那么我们说$G$是无扭转的。

练习8.17。许多学生错误地将扭转子群记为“群的有限阶元素的集合”。如果这个群体本身是阿贝尔的,那就对了。但非abel群体的问题要大得多。证明两个矩阵$A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right]$和$B=\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2} \ 2 & 0\end{array}\right]$都有有限阶,但它们的乘积有无限阶。这表明有限阶元素的集合在非贝尔群中不必是封闭的。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The first isomorphism theorem

现在我们可以把过去三章学到的东西放在一起了。具体来说,我们在第六章学习了如何构造商群;第7章环群的结构;以及第八章中有限生成阿贝尔群的性质。我们现在想知道的是如何识别商群的结构。我们需要的是一种方法来判断一个商群是否同构于一个已知的群,比如一个循环群或一个有限生成的阿贝尔群。这种方法是本章第一个也是最重要的定理。

定理9.1(第一同构定理)。设$\phi: G \rightarrow G^{\prime}$为核$K$的同态。那么由$\bar{\phi}(g K)=\phi(g)$给出的函数$\bar{\phi}: G / K \rightarrow \phi(G)$是一个定义良好的同构。

推论9.2。设$\phi: G \rightarrow G^{\prime}$是核$K$的满射同态。那么$G^{\prime}$和$G / K$是同构的。

有了这个定理,我们就有能力让直觉变得精确。把商群想象成群的一部分塌缩在一起,只剩下群的一部分。当这种情况发生时,商之后还剩下什么结构?我们将做一个有根据的猜测,然后使用第一同构定理的推论来验证我们的猜测!下一个例子和接下来的几个定理应该有助于培养这种直觉。

例9.3。让我们看一个例子,看看如何在我们已经知道的事实上使用第一同构定理:$\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$。我们要做的是找到一个映同态$\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n$它的核是$\langle n\rangle$。因此,让我们使用7.7定理并定义一个同态$\phi$除以$\phi(1)=1$(因此$\phi(x)=\phi(x \cdot 1)=x \phi(1)$,这意味着$\phi(x)$是$x$除以$n$的余数)。我们只需要证明$\phi$是on和$\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$。

第一个很简单:对于任何$b \in \mathbb{Z}_n$,我们都有$\phi(b)=\phi(b \cdot 1)=b \phi(1)=b$。现在我们需要计算$\phi$的内核,因为$\operatorname{Ker}(\phi)$是所有的整数$x$,因此$\phi(x)=0$,我们需要找到所有的整数$x$,使得$\phi(x)$是$n$的倍数。但是$\phi(x)$就是$x$除以$n$的余数。这意味着$x$本身一定是$n$的倍数,所以$\operatorname{Ker}(\phi)$是$n$的所有倍数的集合。这就是$\langle n\rangle$,所以是$\operatorname{Ker}(\phi)=\langle n\rangle$。根据第一同构定理,$\mathbb{Z} /\langle n\rangle \cong \mathbb{Z}_n$。

数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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