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数学代写|数论代写Number Theory代考|The Greatest Common Divisor

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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数学代写|数论代写Number Theory代考|The Greatest Common Divisor

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It will turn out that the real importance of the Euclidean algorithm is not so much that it can be used to find the greatest common divisor of two numbers, but, as we saw in the example above, it can be used to express that greatest common divisor as a linear combination of the two numbers. In other words, if $a$ and $b$ are two natural numbers, then the Euclidean algorithm will first produce the greatest common divisor, which we write as $\operatorname{gcd}(a, b)$, and then, by reversing the steps in the algorithm, the greatest common divisor can be expressed as a linear combination of the two numbers-that is, it can be written as
$$
\operatorname{gcd}(a, b)=x a+y b .
$$
Our use of the Euclidean algorithm will often be in the case where the two numbers in question are relatively prime -that is, when their greatest common divisor is 1 -and so, for just a bit more practice, we will now use the Euclidean algorithm not only to show that the two numbers 2001 and 1984 are relatively prime, but to express their greatest common divisor in the form $1=x \cdot 2001+y \cdot 1984$.

The steps in the Euclidean algorithm produce the following sequence of equations:
$$
\begin{aligned}
& 2001=1 \cdot 1984+17, \
& 1984=116 \cdot 17+12,
\end{aligned}
$$
$$
17=1 \cdot 12+5
$$

$12=2 \cdot 5+2$,
$5=2 \cdot 2+1$
$2=2 \cdot 1+0$.

数学代写|数论代写Number Theory代考|The Division Algorithm

The key step that we repeat over and over again in the Euclidean algorithm, dividing a smaller number into a larger number to get a quotient and a remainder, is itself fundamental enough to warrant a name of its own, the division algorithm:
Given any two integers $a$ and $b$ with $b>0$, there exist unique integers $q$ and $r$ such that $a=q b+r$ with $0 \leq r<b$.
We think of dividing a number $b$ into a number $a$ as many times as we can until the remainder $r$ is smaller than $b$; Euclid, in the Elements, thought of marking off identical line segments of length $b$ along a line segment $a$ until a segment was left whose length $r$ was less than $b$. Either way you think about it, it should be obvious that a unique quotient $q$, and unique remainder $r$ are the result.

Note that care has been taken to express the division algorithm in such a way that negative values of $a$ are possible. So, not only does the division algorithm apply in cases that Euclid might have imagined such as $a=26, b=7$, where we get
$$
26=3 \cdot 7+5
$$
but it also applies to cases such as $a=-17, b=5$, where we get
$$
-17=(-4) \cdot 5+3 .
$$

数学代写|数论代写Number Theory代考|The Greatest Common Divisor

数论代写

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我们会发现,欧几里得算法的真正重要性并不在于它可以用来求两个数的最大公约数,而是,正如我们在上面的例子中看到的,它可以用来将最大公约数表示为两个数的线性组合。换句话说,如果$a$和$b$是两个自然数,那么欧几里得算法将首先产生最大公约数,我们将其写成$\operatorname{gcd}(a, b)$,然后,通过颠倒算法中的步骤,最大公约数可以表示为这两个数的线性组合,即可以写成
$ $
\operatorname{gcd}(a, b)=x a+y b。
$ $
我们使用欧几里得算法通常是在两个数字相对素数的情况下,也就是说,当它们的最大公约数是1时,所以,为了更多的练习,我们现在将使用欧几里得算法不仅来证明2001和1984这两个数字是相对素数,而且将它们的最大公约数表示为$1=x \cdot 2001+y \cdot 1984$。

欧几里得算法的步骤产生以下一系列方程:
$ $
开始{对齐}
& 2001=1 \cdot 1984+17, \
& 1984=116 \cdot 17+12,
结束{对齐}
$ $
$ $
17=1 \cdot 12+5
$ $

$12=2 \cdot 5+2$,
$5=2 \cdot 2+1$
$2=2 \cdot 1+0$。

数学代写|数论代写Number Theory代考|The Division Algorithm

我们在欧几里得算法中反复重复的关键步骤是,将一个较小的数除以一个较大的数,得到一个商和一个余数,这个步骤本身就很基本,足以让它有一个自己的名字——除法算法。
给定任意两个整数$a$和$b$与$b>0$,存在唯一的整数$q$和$r$使得$a=q b+r$且$0 \leq r<b$。
我们尽可能多地把数字b分成数字a,直到余数r小于b;欧几里得,在《几何要素》中,想到沿着线段a划出长度为b的相同线段,直到留下长度r小于b的线段。不管你怎么想,很明显结果是唯一的商q和唯一的余数r。

请注意,在表示除法算法时,已经小心翼翼地使$a$的负值成为可能。除法算法不仅适用于欧几里得可能想到的情况比如a=26 b=7,我们得到
$ $
26=3 \cdot 7+5
$ $
但它也适用于像a=-17, b=5这样的情况,我们得到
$ $
-17=(-4) \cdot 5+3。
$ $

数学代写|数论代写Number Theory代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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