Posted on Categories:Probability theory, 数学代写, 概率论

# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Almost sure convergence; Borel-Cantelli lemma

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Almost sure convergence; Borel-Cantelli lemma

An important concept in set theory is that of the “lim sup” and “lim inf” of a sequence of sets. These notions can be defined for subsets of an arbitrary space $\Omega$.
DEFINITION. Let $E_n$ be any sequence of subsets of $\Omega$; we define
$$\limsup n E_n=\bigcap{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} E_n, \quad \liminf n E_n=\bigcup{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} E_n .$$
Let us observe at once that
(1)
$$\liminf _n E_n=\left(\limsup _n E_n^c\right)^c,$$
so that in a sense one of the two notions suffices, but it is convenient to employ both. The main properties of these sets will be given in the following two propositions.
(i) A point belongs to $\lim \sup _n E_n$ if and only if it belongs to infinitely many terms of the sequence $\left{E_n, n \geq 1\right}$. A point belongs to $\lim \inf _n E_n$ if and only if it belongs to all terms of the sequence from a certain term on. It follows in particular that both sets are independent of the enumeration of the $E_n$ ‘s.

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Vague convergence

If a sequence of r.v.’s $\left{X_n\right}$ tends to a limit, the corresponding sequence of p.m.’s $\left{\mu_n\right}$ ought to tend to a limit in some sense. Is it true that $\lim _n \mu_n(A)$ exists for all $A \in \mathbb{B}^1$ or at least for all intervals $A$ ? The answer is no from trivial examples.

Example 1. Let $X_n=c_n$ where the $c_n$ ‘s are constants tending to zero. Then $X_n \rightarrow 0$ deterministically. For any interval $I$ such that $0 \notin \bar{I}$, where $\bar{I}$ is the closure of $I$, we have $\lim _n \mu_n(I)=0=\mu(I)$; for any interval such that $0 \in I^{\circ}$, where $I^{\circ}$ is the interior of $I$, we have $\lim _n \mu_n(I)=1=\mu(I)$. But if $\left{c_n\right}$ oscillates between strictly positive and strictly negative values, and $I=(a, 0)$ or $(0, b)$, where $a<0<b$, then $\mu_n(I)$ oscillates between 0 and 1 , while $\mu(I)=0$. On the other hand, if $I=(a, 0]$ or $[0, b)$, then $\mu_n(I)$ oscillates as before but $\mu(I)=1$. Observe that ${0}$ is the sole atom of $\mu$ and it is the root of the trouble.

Instead of the point masses concentrated at $c_n$, we may consider, e.g., r.v.’s $\left{X_n\right}$ having uniform distributions over intervals $\left(c_n, c_n^{\prime}\right)$ where $c_n<0<c_n^{\prime}$ and $c_n \rightarrow 0$, $c_n^{\prime} \rightarrow 0$. Then again $X_n \rightarrow 0$ a.e. but $\mu_n((a, 0))$ may not converge at all, or converge to any number between 0 and 1 .

Next, even if $\left{\mu_n\right}$ does converge in some weaker sense, is the limit necessarily a p.m.? The answer is again no.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Almost sure convergence; Borel-Cantelli lemma

$$\limsup n E_n=\bigcap{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} E_n, \quad \liminf n E_n=\bigcup{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} E_n .$$

（1）
$$\liminf _n E_n=\left(\limsup _n E_n^c\right)^c,$$

(i)一个点属于$\lim \sup _n E_n$当且仅当它属于数列$\left{E_n, n \geq 1\right}$的无穷多个项。一个点属于$\lim \inf _n E_n$当且仅当它属于序列中从某一项开始的所有项。特别地，这两个集合都独立于$E_n$的枚举。

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Vague convergence

avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。