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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Weak law of large numbers

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Weak law of large numbers

The law of large numbers in the form (1) of Sec. 5.1 involves only the first moment, but so far we have operated with the second. In ordcr to drop any assumption on the second moment, we need a new device, that of “equivalent sequences”, due to Khintchine (1894-1959).

DEFINTTION. Two sequences of r.v.’s $\left{X_n\right}$ and $\left{Y_n\right}$ are said to be equivalent iff
$$\sum_n \mathscr{P}\left{X_n \neq Y_n\right}<\infty$$
In practice, an equivalent sequence is obtained by “truncating” in various ways, as we shall see presently.
Theorem 5.2.1. If $\left{X_n\right}$ and $\left{Y_n\right}$ are equivalent, then
$$\sum_n\left(X_n-Y_n\right) \text { converges a.e. }$$
Furthermore if $a_n \uparrow \infty$, then
(2)
$$\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n\left(X_j-Y_j\right) \rightarrow 0 \quad \text { a.e. }$$
PROOF. By the Borel-Cantelli lemma, (1) implies that
$$\mathscr{P}\left{X_n \neq Y_n \text { i.o. }\right}=0$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Convergence of series

If the terms of an infinite series are independent RVS. , then in Section 8.1, its probability of convergence is either 0 or 1. Here, we will establish a specific criterion for the latter option. This result not only completely answers the question of convergence of independent RVS. But it also gives a satisfactory form of the strong law of numbers. This theorem was proposed by Kolmogorov(1929). Let’s start with two of his remarkable inequalities. The first approach has worked well elsewhere; The second may be circumvented (see Exercises 3 to 5 below), but Kolmogorov’s original form is given here as an example of true virtuosity.
Theorem 5.3.1. Let $\left{X_n\right}$be the independent r.v. It’s like this
Then for each $\epsilon>0$:
$$\mathscr{P}\left{\max {1 \leq j \leq n}\left|S_j\right|>\epsilon\right} \leq \frac{\sigma^2\left(S_n\right)}{\epsilon^2} . Note:$$if we put the formula of $\ Max {1 \ leq j \ leq n} \ left | S_j |$to $\ \ right left | | S_n \ right$, this became a simple example of chebyshev inequality, so it is an essence of chebyshev inequality.

Prove it. Fix $\epsilon>0$. For any $\omega$in the set
$$\Lambda=\left{\omega: \max _{1 \leq j \leq n}\left|S_j(\omega)\right|>\epsilon\right},$$
Let’s define it
$$v(\omega)=\min \left{j: 1 \leq j \leq n,\left|S_j(\omega)\right|>\epsilon\right}$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Weak law of large numbers

$$\sum_n \mathscr{P}\left{X_n \neq Y_n\right}<\infty$$

$$\sum_n\left(X_n-Y_n\right) \text { converges a.e. }$$

(2）
$$\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n\left(X_j-Y_j\right) \rightarrow 0 \quad \text { a.e. }$$

$$\mathscr{P}\left{X_n \neq Y_n \text { i.o. }\right}=0$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Convergence of series


\mathscr{P}\left{\max {1 \leq j\ leq n}\左|S_j\右|>\epsilon\右}\ leq \frac{\sigma^2\左(S_n\右)}{\epsilon^2}。的话。如果我们将公式中的$\max {1 \leq j\ leq n}\left|S_j\right|$替换为$\left|S_n\right|$，这就变成了切比雪夫不等式的一个简单例子，因此它是一个本质的改进。


\Lambda=\left{\omega: \max _{1 \leq j \leq n}\left|S_j(\omega)\right|>\epsilon\right}，



v(\omega)=\min \left{j: 1 \leq j \leq n，\left|S_j(\omega)\right|>\epsilon\right}


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