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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Definition and properties of K-theory

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Definition and properties of K-theory

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Definition and properties of K-theory

The first and the most inportant generalizations of cohomology theory – $K$-theory and cobordism theory – were introduced (or more accurately first considered from the appropriate point of view) in the late $1950 \mathrm{~s}$ and 1960s by Atiyah. Subsequent development of the associated methodology very significantly augmented the algebraic apparatus of topology. Moreover for the investigation of many topological problems either $K$-theory or cobordism (bordism) theory has turned out to provide the most appropriatc context. The general axiomatics of extraordinary homology (and cohomology) theory were worked out by G. W. Whitehead in the early 1960s.

We begin with the basic concepts of $K$-theory. For a pair $(K, L)$ of finite $C W$-complexes the groups $K_{\mathbb{R}}^0(K, L)$ and $K_{\mathbb{C}}^0(K, L)$ are defined as the Grothendieck groups of classes of stably equivalent vector bundles (real and complex respectively) with base $B=K / L$, where “stable equivalcnce” of two vector bundles $\nu_1$ and $\nu_2$ means that
$$
\nu_1 \oplus \varepsilon^{N_1}=\nu_2 \oplus \varepsilon^{N_2}
$$
where $\varepsilon^{N_i} \quad(i=1,2)$ is the trivial vector bundle with fiber $\mathbb{R}^{N_i}$ or $\mathbb{C}^{N_i}$. Every vector bundle $\nu$ over $K / L$ has a stable inverse. This is explained in Chapter 4, §1: one first realizes $K / L$ as a deformation retract of a manifold $U \supset K / L$ over which $\nu$ can be extended to a bundle stably equivalent to the tangent bundle of $U$; the inverse $-\nu$ is then realized as the normal bundle over $U$ with respect to an embedding $U \subset \mathbb{R}^q, \quad q$ sufficiently large:
$$
\nu \oplus(-\nu)=\varepsilon^N \sim 0
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Bordism and cobordism theory as generalized homology and cohomology

From a geometrical point of view, bordism theory is the most natural homology theory. We start with the classical situation where the cycles are taken to be any smooth manifolds. In unoriented bordism theory $\Omega_^O(\cdot)=\mathfrak{N}(\cdot)$, a singular $n$-cycle of a space $X$ is a pair $\left(M^n, f\right)$, where $M^n$ is a closed manifold and $f$ is a map of the manifold to $X$ :
$$
\left(M^n, f\right) ; \quad f: M^n \rightarrow X
$$
Two singular $n$-cycles $\left(M_1^n, f_1\right), \quad\left(M_2^n, f_2\right)$ are equivalent (or cobordant): $\left(M_1^n, f_1\right) \sim\left(M_2^n, f_2\right)$, if there exists a manifold $L^{n+1}$ with boundary $\partial L^{n+1}=$ $M_1^n \cup M_2^n$ (the disjoint union) and a map $g: L^{n+1} \rightarrow X$ such that
$$
\left.g\right|{M_1^n}=f_1,\left.\quad g\right|_{M_2^n}=f_2
$$
Here all manifolds involved are assumed to be embedded into $\mathbb{R}^N$ for $N>>n$. We now define the $n$-dimensional bordism group by
$$
\Omega_n^O(X)={n \text {-cycles }} / \sim
$$
where the (abelian) group structure is defined in terms of the disjoint union of $n$-cycles:
$$
\left[\left(M_1^n, f_1\right)\right]+\left[\left(M_2^n, f_2\right)\right]=\left[\left(M_1^n \cup M_2^n, f_1 \cup f_2\right)\right]
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Definition and properties of K-theory

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Definition and properties of K-theory

上同论的第一个也是最重要的推广——$K$ -理论和协同论——是由Atiyah在$1950 \mathrm{~s}$和20世纪60年代末提出的(或者更准确地说,首先从适当的角度考虑)。随后相关方法学的发展极大地增强了拓扑学的代数仪器。此外,对于许多拓扑问题的研究,$K$ -理论或协同(bordism)理论已被证明提供了最合适的背景。超同调(和上同调)理论的一般公理化是由g·w·怀特黑德在20世纪60年代早期提出的。

我们从$K$理论的基本概念开始。对于一对$(K, L)$有限的$C W$ -复合体,将群$K_{\mathbb{R}}^0(K, L)$和$K_{\mathbb{C}}^0(K, L)$定义为基为$B=K / L$的稳定等价向量束(实数和复数分别)类的Grothendieck群,其中两个向量束$\nu_1$和$\nu_2$的“稳定等价”意味着
$$
\nu_1 \oplus \varepsilon^{N_1}=\nu_2 \oplus \varepsilon^{N_2}
$$
其中$\varepsilon^{N_i} \quad(i=1,2)$是带有光纤$\mathbb{R}^{N_i}$或$\mathbb{C}^{N_i}$的平凡向量束。每个向量束$\nu$在$K / L$上都有一个稳定的逆。这在第4章第1节中作了解释:人们首先认识到$K / L$是一个流形$U \supset K / L$的变形缩回,在这个流形上$\nu$可以被扩展成一个稳定等价于$U$的切线束的束;逆$-\nu$被实现为相对于足够大的嵌入$U \subset \mathbb{R}^q, \quad q$在$U$上的正常束:
$$
\nu \oplus(-\nu)=\varepsilon^N \sim 0
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Bordism and cobordism theory as generalized homology and cohomology

从几何的角度看,本体论是最自然的同调论。我们从经典情况开始,其中循环是任意光滑流形。在无向边界理论$\Omega_^O(\cdot)=\mathfrak{N}(\cdot)$中,空间$X$的一个奇异$n$ -循环是一个对$\left(M^n, f\right)$,其中$M^n$是一个封闭流形,$f$是该流形到$X$的映射:
$$
\left(M^n, f\right) ; \quad f: M^n \rightarrow X
$$
两个奇异的$n$ -循环$\left(M_1^n, f_1\right), \quad\left(M_2^n, f_2\right)$是等价的(或协同的):$\left(M_1^n, f_1\right) \sim\left(M_2^n, f_2\right)$,如果存在一个流形$L^{n+1}$,其边界为$\partial L^{n+1}=$$M_1^n \cup M_2^n$(不相交的并集)和一个映射$g: L^{n+1} \rightarrow X$,使得
$$
\left.g\right|{M_1^n}=f_1,\left.\quad g\right|_{M_2^n}=f_2
$$
这里假定所有涉及的流形都嵌入到$N>>n$的$\mathbb{R}^N$中。我们现在定义$n$ -维矩阵群
$$
\Omega_n^O(X)={n \text {-cycles }} / \sim
$$
其中(阿贝尔)群结构定义为$n$ -环的不相交并:
$$
\left[\left(M_1^n, f_1\right)\right]+\left[\left(M_2^n, f_2\right)\right]=\left[\left(M_1^n \cup M_2^n, f_1 \cup f_2\right)\right]
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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