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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Smooth manifolds and homotopy theory

如果你也在 怎样代写拓扑学Topology 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。拓扑学Topology背后的激励性见解是,一些几何问题并不取决于相关物体的确切形状,而是取决于它们的组合方式。例如,正方形和圆形有许多共同的属性:它们都是一维物体(从拓扑学的角度来看),都把平面分成两部分,即内部和外部。

拓扑学Topology MATH10076拓扑空间是一个被赋予结构的集合,称为拓扑,它允许定义子空间的连续变形,以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间,以及更一般的,公制空间都是拓扑空间的例子,因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有:维度,它可以区分线和面;紧凑性,它可以区分线和圆;连通性,它可以区分一个圆和两个不相交的圆。

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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Smooth manifolds and homotopy theory

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Smooth manifolds and homotopy theory

In this section we shall first consider some ideas, based on the geometry of manifolds, giving access by elementary means to certain information concerning the homotopy classes of maps of manifolds (in cases other than those examined in Chapter 3 where the homotopy groups were known to be trivial for elementary reasons). In their further development these geometrical ideas become combined with the algebraic techniques described at the conclusion of Chapter 3.

We remind the reader that for smooth manifolds any continuous maps and homotopies can be approximated arbitrary closely by smooth maps coinciding with the original map wherever it happened to be smooth, so that we always assume all maps and homotopies of manifolds to be of smoothness class $C^{\infty}$ if need be.

The simplest of homotopy invariants is the degree of a map between closed orientable manifolds of the same dimension:
$$
f: M^n \longrightarrow N^n
$$
defined as follows: Consider a generic point $y$ (i.e. “rcgular”) in $N^n$; the Jacobian $J_f$ of $f$ is then non-zero at each point of the complete inverse image $f^{-1}(y)=\left{x_1, \ldots, x_k\right}$. We define
$$
\operatorname{deg} f=\sum_{j=1}^k \operatorname{sgn} J_f\left(x_j\right)
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|There is a complicated theory

There is a complicated theory (devised by Rohlin in the early 1950s) leading to the determination of the groups $\pi_{n+3}\left(S^n\right)$. As the first (non-trivial) step, it is shown that every non-trivial framed manifold $\left(W^3, v_n\right)$ is bordant to a framed sphere $S^3 \subset \mathbb{R}^{n+3}$, situated in standard fashion in $\mathbb{R}^{n+3}$ (since in the stable range every disposition of $S^3$ in $\mathbb{R}^{n+3}$ is equivalent to the standard one). It is shown next that the latitude in defining a frame on $S^3 \in \mathbb{R}^{n+3}$ determines a homomorphism (in fact an epimorphism)
$$
J: \pi_3\left(S O_n\right) \longrightarrow \pi_{n+3}\left(S^n\right)
$$
Since $\pi_3\left(S O_n\right) \cong \mathbb{Z}$ for $n>4$, it now follows that the stable group $\pi_{n+3}\left(S^n\right)$ is cyclic. Further analysis reveals that

$$
\pi_{n+3}\left(S_n\right) \cong \mathbb{Z} / 24 \text { for } n>4, \quad \pi_7\left(S^4\right) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / 12, \quad \pi_6\left(S^3\right) \cong \mathbb{Z} / 12 .
$$
These results are closely linked to Rohlin’s theorem to the effect that for a closed manifold $M^4$ with the property that $M^4 \backslash\left{x_0\right}$ is parallelizable, the first Pontryagin class $p_1\left(M^4\right)$ is divisible by 48 . (Recall that charactcristic classes are elements of the integral cohomology groups.)
As a generalization of (3.7) one has that the equivalence classes of framed $k$-spheres $\left(S^k, \nu_n\right)$ determine in $\pi_{n+k}\left(S^n\right)$ the image of the “Whitehead homomorphism” (see Chapter $3, \S 8$ )
$$
J: \pi_k\left(S O_n\right) \longrightarrow \pi_{n+k}\left(S^n\right)
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Smooth manifolds and homotopy theory

拓扑学代写

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Smooth manifolds and homotopy theory

在本节中,我们将首先考虑一些思想,基于流形的几何,用初等方法给出关于流形映射的同伦类的某些信息(除了第三章中由于初等原因已知同伦群是平凡的情况外)。在进一步的发展中,这些几何思想与第三章结尾所描述的代数技术结合在一起。

我们提醒读者,对于光滑流形,任何连续映射和同伦都可以通过与原映射重合的光滑映射任意逼近,因此,如果需要,我们总是假设流形的所有映射和同伦都是光滑类$C^{\infty}$。

最简单的同伦不变量是相同维数的闭可定向流形之间映射的度数:
$$
f: M^n \longrightarrow N^n
$$
定义如下:考虑一个通用点$y$(即:“正则”)在$N^n$;那么$f$的雅可比矩阵$J_f$在完整逆像$f^{-1}(y)=\left{x_1, \ldots, x_k\right}$的每一点上都是非零的。我们定义
$$
\operatorname{deg} f=\sum_{j=1}^k \operatorname{sgn} J_f\left(x_j\right)
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|There is a complicated theory

有一个复杂的理论(由罗林在20世纪50年代早期提出)导致了群体的确定$\pi_{n+3}\left(S^n\right)$。作为第一个(非平凡的)步骤,我们证明了每一个非平凡的框架流形$\left(W^3, v_n\right)$都与一个框架球$S^3 \subset \mathbb{R}^{n+3}$相邻,这个框架球以标准的方式位于$\mathbb{R}^{n+3}$中(因为在稳定范围内$S^3$在$\mathbb{R}^{n+3}$中的每一个配置都相当于标准的配置)。下面将说明在$S^3 \in \mathbb{R}^{n+3}$上定义框架时的纬度决定了同态(实际上是外胚)
$$
J: \pi_3\left(S O_n\right) \longrightarrow \pi_{n+3}\left(S^n\right)
$$
既然$n>4$是$\pi_3\left(S O_n\right) \cong \mathbb{Z}$,那么稳定基团$\pi_{n+3}\left(S^n\right)$就是环状的。进一步分析表明

$$
\pi_{n+3}\left(S_n\right) \cong \mathbb{Z} / 24 \text { for } n>4, \quad \pi_7\left(S^4\right) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / 12, \quad \pi_6\left(S^3\right) \cong \mathbb{Z} / 12 .
$$
这些结果与Rohlin定理密切相关,即对于具有$M^4 \backslash\left{x_0\right}$可并行性的闭流形$M^4$,第一庞特里亚金类$p_1\left(M^4\right)$可被48整除。(回想一下,特征类是整上同调群的元素。)
作为(3.7)的推广,我们得到框架$k$ -球的等价类$\left(S^k, \nu_n\right)$在$\pi_{n+k}\left(S^n\right)$中决定了“Whitehead同态”的象(见$3, \S 8$章)。
$$
J: \pi_k\left(S O_n\right) \longrightarrow \pi_{n+k}\left(S^n\right)
$$

数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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