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# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Convergence in Measure

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Convergence in Measure

Next we discuss some convergence notions. The following notion is important in probability theory.

Definition 1.1.7. Let $f, f_n, n=1,2, \ldots$, be measurable functions on the measure space $(X, \mu)$. The sequence $f_n$ is said to converge in measure to $f$ if for all $\varepsilon>0$ there exists an $n_0 \in \mathbf{Z}^{+}$such that

$$n>n_0 \Longrightarrow \mu\left(\left{x \in X:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right)<\varepsilon .$$ Remark 1.1.8. The preceding definition is equivalent to the following statement: For all $\varepsilon>0 \quad \lim {n \rightarrow \infty} \mu\left(\left{x \in X:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right)=0$. Clearly (1.1.15) implies (1.1.14). To see the converse given $\varepsilon>0$, pick $0<\delta<\varepsilon$ and apply (1.1.14) for this $\delta$. There exists an $n_0 \in \mathbf{Z}^{+}$such that $$\mu\left(\left{x \in X:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\delta\right}\right)<\delta$$ holds for $n>n_0$. Since $$\mu\left(\left{x \in X:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right) \leq \mu\left(\left{x \in X:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\delta\right}\right),$$ we conclude that $$\mu\left(\left{x \in X:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right)<\delta$$ for all $n>n_0$. Let $n \rightarrow \infty$ to deduce that $$\limsup {n \rightarrow \infty} \mu\left(\left{x \in X:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right) \leq \delta$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|A First Glimpse at Interpolation

It is a useful fact that if a function $f$ is in $L^p(X, \mu)$ and in $L^q(X, \mu)$, then it also lies in $L^r(X, \mu)$ for all $p<r<q$. The usefulness of the spaces $L^{p, \infty}$ can be seen from the following sharpening of this statement:

Proposition 1.1.14. Let $0<p<q \leq \infty$ and let $f$ in $L^{p, \infty}(X, \mu) \cap L^{q, \infty}(X, \mu)$. Then $f$ is in $L^r(X, \mu)$ for all $p<r<q$ and

$$|f|_{L^r} \leq\left(\frac{r}{r-p}+\frac{r}{q-r}\right)^{\frac{1}{r}}|f|_{L^{p, \infty}}^{\frac{\frac{1}{r}-\frac{1}{q}}{\frac{1}{q}-\frac{1}{q}}}|f|_{L^{q, \infty}}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{r}}$$
with the suitable interpretation when $q=\infty$.
Proof. Let us take first $q<\infty$. We know that
$$d_f(\alpha) \leq \min \left(\frac{|f|_{L^{p, \infty}}^p}{\alpha^p}, \frac{|f|_{L^{q, \infty}}^q}{\alpha^q}\right) .$$
Set
$$B=\left(\frac{|f|_{L^{q, \infty}}^q}{|f|_{L^{p, \infty}}^p}\right)^{\frac{1}{q-p}}$$

1.1.7定义。设$f, f_n, n=1,2， \ldots$是测量空间$(X， \mu)$上的可测函数。如果在mathbf{Z}^{+}$中存在一个$n_0 $，则序列$f_n$在测度上收敛于$f$＄＄ n>n_0 \ longightarrow \mu\left(\left{x \in x:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right)<\varepsilon。$$备注1.1.8。上述定义等价于以下语句:对于所有\varepsilon> \quad \lim {n \rightarrow \infty} \mu\left(\left{x \in x:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right)=0。显然(1.1.15)意味着(1.1.14)。要查看给定\varepsilon>0的反向表达式，选择0<\delta<\varepsilon并对该\delta应用(1.1.14)。在\mathbf{Z}^{+}中存在一个n_0，使得$$ \mu\left(\left{x \in x:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\delta\right}\right)<\delta $$对n>n_0成立。自从 \μ\离开(左{\在x: \左| fn (x) – f (x) \ | > \ varepsilon \右})\ leq \μ\离开(左{\在x: \左| fn (x) – f (x) \ | > \三角洲\右}\右),我们认为美元美元\μ\离开(左{\在x: \左| fn (x) – f (x) \ | > \ varepsilon \右}\右)< \三角洲 n >所有n_0美元。设n \rightarrow \infty可以推导出$$ \limsup {n \rightarrow \infty} \mu\left(\left{x \in x:\left|f_n(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right}\right) \leq \delta ＄＄ ## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|A First Glimpse at Interpolation 一个有用的事实是，如果一个函数f在L^p(X， \mu)$和L^q(X， \mu)$中，那么对于所有p<r<q$，它也在L^r(X， \mu)$中。空格$L^{p， \infty}$的有用性可以从下面的语句中看出: 命题1.1.14。让美元$0<p<q \leq \infty$and let$f$in$L^{p, \infty}(X, \mu) \cap L^{q, \infty}(X, \mu)$. Then$f$is in$L^r(X, \mu)$for all$p<r<q$and $$|f|_{L^r} \leq\left(\frac{r}{r-p}+\frac{r}{q-r}\right)^{\frac{1}{r}}|f|_{L^{p, \infty}}^{\frac{\frac{1}{r}-\frac{1}{q}}{\frac{1}{q}-\frac{1}{q}}}|f|_{L^{q, \infty}}^{\frac{1}{p}-\frac{1}{r}}$$ 当$q=\infty$时，有合适的解释。 证明。让我们取第一个$q<\infty\$。我们知道
$$d_f(\alpha) \leq \min \left(\frac{|f|_{L^{p, \infty}}^p}{\alpha^p}, \frac{|f|_{L^{q, \infty}}^q}{\alpha^q}\right) .$$
Set
$$B=\left(\frac{|f|_{L^{q, \infty}}^q}{|f|_{L^{p, \infty}}^p}\right)^{\frac{1}{q-p}}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。