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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Schwartz Class and the Fourier Transform

如果你也在 怎样代写傅里叶分析Fourier Analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。傅里叶分析Fourier Analysis在数学中,傅里叶分析(/ˈfʊrieɪ, -iər/)是研究一般函数如何通过较简单的三角函数之和来表示或近似。傅里叶分析源于对傅里叶级数的研究,并以约瑟夫-傅里叶的名字命名,他表明将一个函数表示为三角函数之和可以大大简化对热传递的研究。

傅里叶分析Fourier Analysis的主题包含了一个巨大的数学范围。在科学和工程领域,将一个函数分解成振荡成分的过程通常被称为傅里叶分析,而从这些碎片中重建函数的操作被称为傅里叶合成。例如,确定一个音符中存在哪些频率成分,需要计算采样音符的傅里叶变换。然后,人们可以通过包括傅里叶分析中显示的频率成分来重新合成同一个声音。在数学中,傅里叶分析一词通常指的是对这两种操作的研究。

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Schwartz Class and the Fourier Transform

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Schwartz Class and the Fourier Transform

In this section we introduce the single most important tool in harmonic analysis, the Fourier transform. It is often the case that the Fourier transform is introduced as an operation on $L^1$ functions. In this exposition we first define the Fourier transform on a smaller class, the space of Schwartz functions, which turns out to be a very natural environment. Once the basic properties of the Fourier transform are derived, we extend its definition to other spaces of functions.

We begin with some preliminaries. Given $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbf{R}^n$, we set $|x|=$ $\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^{1 / 2}$. The first partial derivative of a function $f$ on $\mathbf{R}^n$ with respect to the $j$ th variable $x_j$ is denoted by $\partial_j f$ while the $m$ th partial derivative with respect to the $j$ th variable is denoted by $\partial_j^m f$. A multi-index $\alpha$ is an ordered $n$-tuple of nonnegative integers. For a multi-index $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right), \partial^\alpha f$ denotes the derivative $\partial_1^{\alpha_1} \cdots \partial_n^{\alpha_n} f$. If $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ is a multi-index, $|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$ denotes its size

and $\alpha !=\alpha_{1} ! \cdots \alpha_n$ ! denotes the product of the factorials of its entries. The number $|\alpha|$ indicates the total order of differentiation of $\partial^\alpha f$. The space of functions in $\mathbf{R}^n$ all of whose derivatives of order at most $N \in \mathbf{Z}^{+}$are continuous is denoted by $\mathscr{C}^N\left(\mathbf{R}^n\right)$ and the space of all infinitely differentiable functions on $\mathbf{R}^n$ by $\mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{R}^n\right)$. The space of $\mathscr{C}^{\infty}$ functions with compact support on $\mathbf{R}^n$ is denoted by $\mathscr{C}_0^{\infty}\left(\mathbf{R}^n\right)$. This space is nonempty; see Exercise 2.2.1(a).

For $x \in \mathbf{R}^n$ and $\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ a multi-index, we set $x^\alpha=x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$. It is a simple fact to verify that
$$
\left|x^\alpha\right| \leq c_{n, \alpha}|x|^{|\alpha|}
$$
for some constant that depends on the dimension $n$ and on $\alpha$. In fact, $c_{n, \alpha}$ is the maximum of the continuous function $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \mapsto\left|x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}\right|$ on the sphere $\mathbf{S}^{n-1}=\left{x \in \mathbf{R}^n:|x|=1\right}$. The converse inequality in (2.2.1) fails. However, the following substitute of the converse of (2.2.1) is of great use: for $k \in \mathbf{Z}^{+}$we have
$$
|x|^k \leq C_{n, k} \sum_{|\beta|=k}\left|x^\beta\right|
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Interpolation of Analytic Families of Operators

Theorem 1.3.4 can now be extended to the case in which the interpolated operators are allowed to vary. In particular, if a family of operators depends analytically on a parameter $z$, then the proof of this theorem can be adapted to work in this setting.
We now describe the setup for this theorem. Let $(X, \mu)$ and $(Y, v)$ be measure spaces. Suppose that for every $z$ in the closed strip $\bar{S}={z \in \mathbf{C}: 0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1}$ there is an associated linear operator $T_z$ defined on the space of simple functions on $X$ and taking values in the space of measurable functions on $Y$ such that
$$
\int_Y\left|T_z(f) g\right| d v<\infty
$$
whenever $f$ and $g$ are simple functions on $X$ and $Y$, respectively. The family $\left{T_z\right}_z$ is said to be analytic if the function
$$
z \mapsto \int_Y T_z(f) g d v
$$
is analytic in the open strip $S={z \in \mathbf{C}: 0<\operatorname{Re} z<1}$ and continuous on its closure. Finally, the analytic family is of admissible growth if there is a constant $a<\pi$ and a constant $C_{f, g}$ such that
$$
e^{-a|\operatorname{Im} z|} \log \left|\int_Y T_z(f) g d v\right| \leq C_{f, g}<\infty
$$
for all $z$ satisfying $0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1$. The extension of the Riesz-Thorin interpolation theorem is now stated.

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傅里叶分析代写

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在本节中,我们将介绍谐波分析中最重要的一个工具,傅里叶变换。通常情况下,傅里叶变换是作为对$L^1$函数的操作引入的。在这个演示中,我们首先在一个较小的类上定义傅里叶变换,Schwartz函数的空间,这是一个很自然的环境。一旦得到傅里叶变换的基本性质,我们就把它的定义扩展到其他的函数空间。

我们先做一些铺垫。给定$x=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbf{R}^n$,我们设置$|x|=$$\left(x_1^2+\cdots+x_n^2\right)^{1 / 2}$。$\mathbf{R}^n$上的函数$f$对$j$第一个变量$x_j$的第一个偏导数用$\partial_j f$表示,而$m$对$j$第一个变量的第一个偏导数用$\partial_j^m f$表示。多索引$\alpha$是由非负整数组成的有序$n$元组。对于多指数$\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right), \partial^\alpha f$表示导数$\partial_1^{\alpha_1} \cdots \partial_n^{\alpha_n} f$。如果$\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$是一个多索引,$|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$表示它的大小

还有$\alpha !=\alpha_{1} ! \cdots \alpha_n$ !表示它的项的阶乘的乘积。数字$|\alpha|$表示$\partial^\alpha f$的总微分阶数。在$\mathbf{R}^n$中所有阶导数最多为$N \in \mathbf{Z}^{+}$的函数的空间用$\mathscr{C}^N\left(\mathbf{R}^n\right)$表示,在$\mathbf{R}^n$中所有无穷可微函数的空间用$\mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbf{R}^n\right)$表示。在$\mathbf{R}^n$上具有紧支持的$\mathscr{C}^{\infty}$函数的空间用$\mathscr{C}_0^{\infty}\left(\mathbf{R}^n\right)$表示。这个空间不是空的;参见练习2.2.1(a)。

对于$x \in \mathbf{R}^n$和$\alpha=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$多索引,我们设置$x^\alpha=x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$。这是一个简单的事实
$$
\left|x^\alpha\right| \leq c_{n, \alpha}|x|^{|\alpha|}
$$
对于某个常数,它取决于维度$n$和$\alpha$。事实上,$c_{n, \alpha}$是连续函数$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \mapsto\left|x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}\right|$在球体$\mathbf{S}^{n-1}=\left{x \in \mathbf{R}^n:|x|=1\right}$上的最大值。式(2.2.1)中的逆不等式失效。然而,下面替换(2.2.1)的逆式是很有用的:对于$k \in \mathbf{Z}^{+}$,我们有
$$
|x|^k \leq C_{n, k} \sum_{|\beta|=k}\left|x^\beta\right|
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Interpolation of Analytic Families of Operators

定理1.3.4现在可以扩展到允许内插运算符变化的情况。特别是,如果一组算子解析地依赖于一个参数$z$,那么这个定理的证明可以适用于这种情况。
现在我们来描述这个定理的建立过程。让$(X, \mu)$和$(Y, v)$作为度量空间。假设对于封闭带$\bar{S}={z \in \mathbf{C}: 0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1}$中的每一个$z$,存在一个关联的线性算子$T_z$,该算子定义在$X$上的简单函数空间上,并在$Y$上的可测函数空间中取值,使得
$$
\int_Y\left|T_z(f) g\right| d v<\infty
$$
每当$f$和$g$分别是$X$和$Y$上的简单函数。家族$\left{T_z\right}z$被认为是解析函数 $$ z \mapsto \int_Y T_z(f) g d v $$ 在开条上是解析的$S={z \in \mathbf{C}: 0<\operatorname{Re} z<1}$,在闭条上是连续的。最后,如果存在一个常数$a<\pi$和一个常数$C{f, g}$,则解析族具有可容许的增长
$$
e^{-a|\operatorname{Im} z|} \log \left|\int_Y T_z(f) g d v\right| \leq C_{f, g}<\infty
$$
对于所有$z$满意$0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1$。现在给出了Riesz-Thorin插值定理的推广。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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