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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of the supremum and the infimum

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of the supremum and the infimum

Let $S$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}$, bounded above. Then sup $S$ exists. Let $M=\sup S$. Then $M \in \mathbb{R}$ and $M$ satisfies the following conditions :
(i) $x \in S \Rightarrow x \leq M$, and
(ii) for each $\epsilon>0$, there exists an element $y(\epsilon)$ in $S$ such that $M-\epsilon<$ $y \leq M$

Let $S$ be a non-empty subset of $\mathbb{R}$, bounded below. Then inf $S$ exists. Let $m=\inf S$. Then $m \in \mathbb{R}$ and $m$ satisfies the following conditions :
(i) $x \in S \Rightarrow x \geq m$, and
(ii) for each $\epsilon>0$, there exists an element $y(\epsilon)$ in $S$ such that $m \leq$ $y<m+\epsilon$
Note. The symbol $y(\epsilon)$ indicates dependence of $y$ on the choice of $\epsilon$.

Prove that the set $\mathbb{N}$ is not bounded above.
The set $\mathbb{N}$ is a non-empty subset of $\mathbb{R}$, since $1 \in \mathbb{N}$.
Let $\mathbb{N}$ be bounded above. Then $\mathbb{N}$ being a non-empty subset of $\mathbb{R}$ bounded above, $\sup \mathbb{N}$ exists by the supremum property of $\mathbb{R}$. Let $u=$ $\sup \mathbb{N}$. Then (i) $x \in \mathbb{N} \Rightarrow x \leq u$, and
(ii) for each $\epsilon>0$ there exists an element, say $y$ in $\mathbb{N}$ such that $u-\epsilon<y \leq u$.

Let us choose $\epsilon=1$. Then there exists an element $k$ in $\mathbb{N}$ such that $u-1u$.

Since $k$ is a natural number, $k+1$ is also a natural number. $k+1>u$ implies that $u$ is not an upper bound of $\mathbb{N}$.

Thus we arrive at a contradiction. So our assumption that $\mathbb{N}$ is bounded above is wrong. Hence the set $\mathbb{N}$ is not bounded above

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Archimedean property of lR

If $x, y \in \mathbb{R}$ and $x>0, y>0$, then there cxists a natural number $n$ such thát $n y>x$.

Proof. If possible, let there exist no natural number $n$ for which $n y>x$. Then for every natural number $k, k y \leq x$.

Thus the set $S={k y: k \in \mathbb{N}}$ is bounded above, $x$ being an upper bound. $S$ is non-empty because $y \in S$.
By the supremum property of $\mathbb{R}$, sup $S$ exists. Let $\sup S=b$. Then $k y \leq b$ for all $k \in \mathbb{N}$.
$b-y0$. This shows that $b-y$ is not an upper bound of $S$ and therefore there exists a natural number $p$ such that
$b-y . b \ldots \ldots$
(i)
But $p \in \mathbb{N} \Rightarrow p+1 \in \mathbb{N}$ and therefore $(p+1) y \in S$.
(i) shows that $b$ is not the supremum of $S$, a contradiction.
Therefore our assumption is wrong and the existence of a natural number $n$ satisfying $n y>x$ is proved.

(i) If $x \in \mathbb{R}$, then there exists a natural number $n$ such that $n>x$.
Case 1. $x>0$.
Taking $y=1$, by Archimedean property of $\mathbb{R}$ there exists a natural number $n$ such that $n .1>x$ and hence the existence is proved.
Case 2. $x \leq 0$. Then $n=1$.
(ii) If $x \in \mathbb{R}$ and $x>0$, then there exists a natural number $n$ such that $0<\frac{1}{n}<x$

Taking $y=1$, by Archimedean property of $\mathbb{R}$ there exists a natural number $n$ such that $n x>1$.

Since $n$ is a natural number, $n>0$ and therefore $\frac{1}{n}>0$ and also $\frac{1}{n}0$, there exists a natural number $m$ such that $m-1 \leq x<m$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Properties of the supremum and the infimum

(i) $x \in S \Rightarrow x \leq M$
(ii)对于每个$\epsilon>0$，在$S$中存在一个元素$y(\epsilon)$，使得 $M-\epsilon<$ $y \leq M$

(i) $x \in S \Rightarrow x \geq m$
(ii)对于每个$\epsilon>0$，在$S$中存在一个元素$y(\epsilon)$，使得$m \leq$$y<m+\epsilon 注意。符号y(\epsilon)表示y对\epsilon的选择的依赖性。 证明集合\mathbb{N}在上面没有界。 集合\mathbb{N}是\mathbb{R}的非空子集，因为1 \in \mathbb{N}。 设\mathbb{N}为上界。那么\mathbb{N}是上面有界的\mathbb{R}的一个非空子集，\sup \mathbb{N}根据\mathbb{R}的上性而存在。让u=$$\sup \mathbb{N}$。然后(i) $x \in \mathbb{N} \Rightarrow x \leq u$，和
(ii)对于每个$\epsilon>0$，存在一个元素，例如$\mathbb{N}$中的$y$，使得$u-\epsilon<y \leq u$。

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Archimedean property of lR

$b-y0$。这表明$b-y$不是$S$的上界，因此存在一个自然数$p$，使得
$b-y . b \ldots \ldots$
(i)

(一)证明$b$不是$S$的最高，这是一个矛盾。

(i)如果$x \in \mathbb{R}$，则存在一个自然数$n$，使得$n>x$。

(ii)如果$x \in \mathbb{R}$和$x>0$，则存在一个自然数$n$，使得 $0<\frac{1}{n}<x$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。