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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域,图论是对图的研究,涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科,在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来,图论已经成为各种学科的重要数学工具,从运筹学和化学到遗传学和语言学,从电气工程和地理到社会学和建筑。同时,它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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It is probably clear by now that one of the most important properties that a graph can possess is that of being connected. Figure 5.1 shows seven graphs of order 7 . The graph $G_1$ is a tree, $G_4=C_7$ and $G_7$ $=K_7$. Obviously, all of these graphs are connected. However, some appear to be “more connected” than others. Indeed, the main goal of this chapter is the introduction of measures of how connected a graph is.

Some graphs are so slightly connected that the removal of a single edge results in a disconnected graph. We have already seen this and an edge with this property is a bridge. The graph $G_2$ has a bridge. So does $G_1$. In fact, every edge of $G_1$ is a bridge since $G_1$ is a tree. We now turn from connected graphs containing an edge whose removal results in a disconnected graph to connected graphs containing a vertex whose removal results in a disconnected graph.

Recall that if $v$ is a vertex of a nontrivial graph $G$, then by $G-v$ we mean the (induced) subgraph of $G$ whose vertex set consists of all vertices of $G$ except $v$ and whose edge set consists of all edges of $G$ except those incident with $v$. This concept is illustrated in Figure 5.2. In fact, if $U$ is a proper subset of the vertex set of $G$, then $G-U$ is the (induced) subgraph of $G$ whose vertex set is $V(G)-U$ and whose edge set consists of all edges of $G$ joining two vertices in $V(G)-U$. A vertex $v$ in a connected graph $G$ is a cut-vertex of $G$ if $G-v$ is disconnected. More generally, a vertex $v$ is a cutvertex in a graph $G$ if $v$ is a cut-vertex of a component of $G$. In the graph $G$ of Figure 5.2, $v$ and $x$ are the only cut-vertices. In the graph $G-v$, the vertex $x$ is not a cut-vertex; however, $s$ is a cut-vertex of $G-v$. Consequently, for $U={s, v}$, the graph $G-U$ is disconnected. The graphs $G_1, G_2$ and $G_3$ of Figure 5.1 also contain cut-vertices but no other graphs in Figure 5.1 contain cut-vertices.

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We now turn our attention from connected graphs containing cut-vertices to connected graphs that contain no cut-vertices. A nontrivial connected graph with no cut-vertices is called a nonseparable graph. Hence all of the graphs $G_4, G_5, G_6$ and $G_7$ of Figure 5.1 are nonseparable. In addition, $K_2$ is a nonseparable graph; indeed, $K_2$ is the only nonseparable graph of order 2. Since nonseparable graphs of order 3 or more contain no cut-vertices, they contain no bridges; that is, every edge lies on a cycle. In fact, more can be said.

Theorem 5.7 A graph of order at least 3 is nonseparable if and only if every two vertices lie on a common cycle.

Proof. First, suppose that $G$ is a graph of order at least 3 such that every two vertices of $G$ lie on a common cycle. Assume, to the contrary, that $G$ is not nonseparable. Since every two vertices lie on a common cycle, every two vertices are connected and so $G$ is connected. Because $G$ is not nonseparable, $G$ must contain a cut-vertex, say $v$. Let $u$ and $w$ be two vertices that belong to different components of $G-v$. By assumption, $u$ and $w$ lie on a common cycle $C$ on $G$. However then, $C$ determines two distinct $u-w$ paths of $G$, at least one of which does not contain $v$, contradicting Theorem 5.3. Therefore, $G$ contains no cut-vertices and so $G$ is nonseparable.

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图论代写

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现在可能很清楚,图可以拥有的最重要的性质之一是连通性。图5.1显示了7阶的7个曲线图。图G_1里面是一棵树,美元$ G_4 = C_7 G_7美元= K_7美元美元。显然,所有这些图都是相连的。然而,有些人似乎比其他人“联系更紧密”。事实上,本章的主要目标是介绍图的连接程度。

有些图的连接程度非常低,以至于去掉一条边就会得到一个不连接的图。我们已经学过了,具有这种性质的边就是桥。图G_2有一个桥。G_1也一样。事实上,$G_1$的每条边都是桥因为$G_1$是树。现在,我们从包含一条边的连通图转向包含一个顶点的连通图,它的移除会导致一个断开的图。

回想一下,如果$v$是一个非平凡图$G$的一个顶点,那么$G-v$是指$G$的(诱导)子图,其顶点集由$G$除$v$以外的所有顶点组成,其边集由$G$除$v$外的所有边组成。这个概念如图5.2所示。事实上,如果$U$是$G$顶点集的真子集,则$G-U$是$G$的(诱导)子图,其顶点集为$V(G)-U$,其边集由$G$连接$V(G)-U$中的两个顶点的所有边组成。连通图$G$中的顶点$v$是$G$的切顶点,如果$G-v$是不连通的。更一般地说,如果$v$是$G$的一个分量的切顶点,则顶点$v$是图$G$中的切顶点。在图5.2的图$G$中,$v$和$x$是仅有的切点。在图$G-v$中,顶点$x$不是切顶点;然而,$s$是$G-v$的切割顶点。因此,对于$U={s, v}$,图$G-U$是不连通的。图5.1中的图$G_1, G_2$和$G_3$也包含切割顶点,但图5.1中没有其他图包含切割顶点。

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现在我们将注意力从包含切割顶点的连通图转向不包含切割顶点的连通图。没有切点的非平凡连通图称为不可分图。因此图5.1中所有的图$G_4, G_5, G_6$和$G_7$都是不可分的。另外,$K_2$是一个不可分图;的确,$K_2$是唯一的二阶不可分图。由于3阶或更多阶的不可分离图不包含切割顶点,它们不包含桥;也就是说,每条边都在一个循环上。其实,可以说得更多。

定理5.7至少为3阶的图是不可分离的当且仅当每两个顶点都在一个公共环上。

证明。首先,假设$G$是一个至少3阶的图,使得$G$的每两个顶点位于一个公共环上。相反,假设$G$不是不可分的。因为每两个顶点都在一个公共环上,所以每两个顶点都是连通的,所以$G$是连通的。因为$G$不是不可分离的,$G$必须包含一个截断顶点,比如$v$。设$u$和$w$是属于$G-v$的不同分量的两个顶点。根据假设,$u$和$w$位于$C$和$G$的共同循环上。然而,$C$决定了$G$的两条不同的$u-w$路径,其中至少有一条不包含$v$,这与定理5.3相矛盾。因此,$G$不包含切点,因此$G$是不可分的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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