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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域,图论是对图的研究,涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科,在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来,图论已经成为各种学科的重要数学工具,从运筹学和化学到遗传学和语言学,从电气工程和地理到社会学和建筑。同时,它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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There are many numbers, referred to as parameters, associated with a graph $G$. Knowing the values of certain parameters provides us with information about $G$ but rarely tells us the entire structure of $G$. (These comments are tied in with the concept of isomorphic graphs, which will be discussed in Chapter 3.) We’ve already mentioned the best known parameters: the order and the size. There are also numbers associated with each vertex of a graph. We now consider the best known of these.

The degree of a vertex $v$ in a graph $G$ is the number of edges incident with $v$ and is denoted by $\operatorname{deg}_G v$ or simply by $\operatorname{deg} v$ if the graph $G$ is clear from the context. Also, $\operatorname{deg} v$ is the number of vertices adjacent to $v$. Recall that two adjacent vertices are referred to as neighbors of each other. The set $N(v)$ of neighbors of a vertex $v$ is called the neighborhood of $v$. Thus $\operatorname{deg} v=|N(v)|$.

A vertex of degree 0 is referred to as an isolated vertex and a vertex of degree 1 is an endvertex (or a leaf). The minimum degree of $G$ is the minimum degree among the vertices of $G$ and is denoted by $\delta(G)$; the maximum degree of $G$ is denoted by $\Delta(G)$. So if $G$ is a graph of order $n$ and $v$ is any vertex of $G$, then
$$
0 \leq \delta(G) \leq \operatorname{deg} v \leq \Delta(G) \leq n-1
$$

数学代写|图论代写GRAPH THEORY代考|Regular Graphs

We have already mentioned that $0 \leq \delta(G) \leq \Delta(G) \leq n-1$ for every graph $G$ of order $n$. If $\delta(G)=$ $\Delta(G)$, then the vertices of $G$ have the same degree and $G$ is called regular. If $\operatorname{deg} v=r$ for every vertex $v$ of $G$, where $0 \leq r \leq n-1$, then $G$ is $r$-regular or regular of degree $r$. The only regular graphs of order 4 or 5 are shown in Figure 2.5. There is no 1-regular or 3-regular graph of order 5 , as no graph contains an odd number of odd vertices by Corollary 2.3 .

A 3-regular graph is also referred to as a cubic graph. The graphs $K_4, K_{3,3}$ and $Q_3$ are cubic graphs; however, the best known cubic graph may very well be the Petersen graph, shown in Figure 2.6. We will see this graph again. (Indeed, Section 8.5 is devoted to this graph.)

By Corollary 2.3, there are no $r$-regular graphs of order $n$ if $r$ and $n$ are both odd. However, provided $0 \leq r \leq n-1$, there are no other restrictions on the existence of an $r$-regular graph of order $n$. In the next proof, we will be considering a graph $G$ with vertex set $V(G)=\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ and performing arithmetic on the subscripts of the vertices. We follow the standard practice of performing the arithmetic modulo $n$. For example, if $n=6$ and $i=5$, then the vertex $v_{i+2}$ denotes $v_1$.

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图论代写

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有许多数字,称为参数,与图形$G$相关联。知道某些参数的值为我们提供了有关$G$的信息,但很少告诉我们$G$的整个结构。(这些评论与同构图的概念联系在一起,这将在第3章讨论。)我们已经提到了最著名的参数:顺序和大小。也有与图的每个顶点相关的数字。我们现在考虑其中最著名的。

图$G$中顶点$v$的度数是与$v$相关的边数,用$\operatorname{deg}_G v$表示,如果图$G$与上下文清晰,则用$\operatorname{deg} v$表示。同样,$\operatorname{deg} v$是与$v$相邻的顶点数。回想一下,两个相邻的顶点被称为彼此的邻居。顶点$v$的邻居集合$N(v)$称为$v$的邻域。因此$\operatorname{deg} v=|N(v)|$。

0度的顶点称为孤立顶点,1度的顶点称为终顶点(或叶)。$G$的最小度是$G$的顶点间的最小度,用$\delta(G)$表示;$G$的最大程度用$\Delta(G)$表示。如果$G$是一个阶为$n$的图而$v$是$G$的任意顶点,那么
$$
0 \leq \delta(G) \leq \operatorname{deg} v \leq \Delta(G) \leq n-1
$$

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我们已经提到$0 \leq \delta(G) \leq \Delta(G) \leq n-1$对于每个阶为$n$的图$G$。如果$\delta(G)=$$\Delta(G)$,则$G$的顶点具有相同的度数,并且$G$被称为正则。如果$\operatorname{deg} v=r$对于$G$的每个顶点$v$,其中$0 \leq r \leq n-1$,则$G$是$r$ -正则或正则度$r$。仅有的4阶或5阶正则图如图2.5所示。不存在5阶的1正则图或3正则图,因为根据推论2.3,没有图包含奇数个奇数个顶点。

三正则图也被称为三次图。图$K_4, K_{3,3}$和$Q_3$是三次图;然而,最著名的三次图可能是Petersen图,如图2.6所示。我们将再次看到这个图表。(事实上,第8.5节专门介绍了这个图表。)

根据推论2.3,如果$r$和$n$都是奇数,则不存在$n$阶的$r$ -正则图。然而,假设$0 \leq r \leq n-1$,对于阶为$n$的$r$ -正则图的存在性没有其他限制。在下一个证明中,我们将考虑一个顶点集$V(G)=\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$的图$G$,并对顶点的下标进行算术运算。我们遵循执行算术模$n$的标准做法。例如,如果$n=6$和$i=5$,则顶点$v_{i+2}$表示$v_1$。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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