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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|COMPOSITION. INVERTIBLE MAPPINGS

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|COMPOSITION. INVERTIBLE MAPPINGS

Assume that $\alpha: S \rightarrow T$ and $\beta: T \rightarrow U$. Then $\alpha(x) \in T$ for each $x \in S$, so it makes sense to write $\beta(\alpha(x))$, which is an element of $U$. Thus $\alpha$ followed by $\beta$ in this way is seen to yield a mapping from $S$ to $U$. This allows the following definition.

Definition. If $\alpha: S \rightarrow T$ and $\beta: T \rightarrow U$, the composition (or composite) of $\alpha$ and $\beta$, denoted by $\beta \circ \alpha$, is the mapping from $S$ to $U$ defined by
$$(\beta \circ \alpha)(x)=\beta(\alpha(x))$$
for each $x \in S$. Note carefully: In $\beta \circ \alpha$, it is $\alpha$, the mapping on the right, that is applied first.

Example 2.1. Let $S={x, y, z}, T={1,2,3}$, and $U={a, b, c}$. Define $\alpha: S \rightarrow T$ by $\alpha(x)=2, \quad \alpha(y)=1, \quad$ and $\quad \alpha(z)=3$,
as shown in the diagram below. Also, define $\beta: T \rightarrow U$ by
$$\beta(1)=b, \quad \beta(2)=c, \quad \text { and } \beta(3)=a .$$
Then
\begin{aligned} & (\beta \circ \alpha)(x)=\beta(\alpha(x))=\beta(2)=c \ & (\beta \circ \alpha)(y)=\beta(\alpha(y))=\beta(1)=b \ & (\beta \circ \alpha)(z)=\beta(\alpha(z))=\beta(3)=a . \end{aligned}

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|OPERATIONS

If one integer is added to another, the result is an integer. If one integer is subtracted from another, the result is also an integer. These examples-addition and subtraction of integers-are special cases of what are known as operations. In each case there is a set (here the integers), and a relationship that assigns to each ordered pair $(a, b)$ of elements of that set another element of the same set: $a+b$ in one case, $a-b$ in the other. The general definition of operation is as follows.

Definition. An operation on a set $S$ is a relationship (rule, correspondence) that assigns to each ordered pair of elements of $S$ a uniquely determined element of $S$.

Thus an operation is a special kind of mapping: First, $S \times S$, the Cartesian product of $S$ with $S$, is the set of all ordered pairs $(a, b)$ with $a \in S$ and $b \in S$ (Appendix A). Then an operation on $S$ is simply a mapping from $S \times S$ to $S$. In the case of addition as aneration on the integers, $(a, b) \mapsto a+b$.

Example 3.1. On the set of positive integers, multiplication is an operation: $(m, n) \mapsto m n$, where $m n$ has the usual meaning, $m$ times $n$. Division is not an operation on the set of positive integers, because $m \div n$ is not necessarily a positive integer $(1 \div 2=1 / 2$, for instance).

The last example illustrates a point worth stressing. To have an operation on a set $S$, it is essential that if $a, b \in S$, then the image of the ordered pair $(a, b)$ be in $S$. This property of an operation is referred to as closure, or we say that $S$ is closed with respect to the operation.

If there is an established symbol to denote the image of a pair under an operation, as in the case of $a+b$ for addition of numbers, then that symbol is used. Otherwise some other symbol is adopted, such as $(a, b) \mapsto a * b$ or just $(a, b) \mapsto a b$, for instance, where it must be specified what $a * b$ or $a b$ is to mean in each case. We often say “operation $$” when we mean “operation denoted by  . “ # 现代代数代写 ## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|COMPOSITION. INVERTIBLE MAPPINGS 假设\alpha: S \rightarrow T和\beta: T \rightarrow U。然后\alpha(x) \in T对应每个x \in S，所以写\beta(\alpha(x))是有意义的，它是U的一个元素。这样一来，\alpha后面跟着\beta就产生了从S到U的映射。这允许以下定义。 定义。如果是\alpha: S \rightarrow T和\beta: T \rightarrow U，那么用\beta \circ \alpha表示的\alpha和\beta的组合(或组合)是从S到U的映射$$
(\beta \circ \alpha)(x)=\beta(\alpha(x))
$$对于每个x \in S。注意:在\beta \circ \alpha中，首先应用的是右边的映射\alpha。 例2.1。设S={x, y, z}, T={1,2,3}和U={a, b, c}。用\alpha(x)=2, \quad \alpha(y)=1, \quad和\quad \alpha(z)=3定义\alpha: S \rightarrow T， 如下图所示。另外，定义\beta: T \rightarrow U by$$
\beta(1)=b, \quad \beta(2)=c, \quad \text { and } \beta(3)=a .
$$然后$$
\begin{aligned}
& (\beta \circ \alpha)(x)=\beta(\alpha(x))=\beta(2)=c \
& (\beta \circ \alpha)(y)=\beta(\alpha(y))=\beta(1)=b \
& (\beta \circ \alpha)(z)=\beta(\alpha(z))=\beta(3)=a .
\end{aligned}
$$## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|OPERATIONS 如果将一个整数与另一个整数相加，则结果为整数。如果一个整数减去另一个整数，结果也是一个整数。这些例子——整数的加法和减法——是所谓运算的特殊情况。在每种情况下都有一个集合(这里是整数)，以及一个关系，该关系将该集合的元素的每个有序对(a, b)分配给同一集合的另一个元素:一种情况是a+b，另一种情况是a-b。操作的一般定义如下。 定义。对集合S的操作是一种关系(规则，对应关系)，它将S的每个有序元素对分配为S中唯一确定的元素。 因此，一个运算是一种特殊的映射:首先，S \乘以S， S与S的笛卡尔积，是所有有序对(a, b)与a \在S和b \在S的集合(附录a)。然后S上的一个运算简单地是从S \乘以S到S的映射。如果对整数进行加法运算，则(a, b) \映射为a+b。 例3.1。在正整数集合上，乘法是一个运算:(m, n) \映射到m n，其中m n具有通常的含义，m乘以n。除法不是对正整数集的操作，因为m \div n不一定是正整数(例如，1 \div 2=1 / 2)。 最后一个例子说明了值得强调的一点。要对集合S进行操作，如果a, b \在S中，则有序对(a, b)的像在S中是必要的。操作的这种性质称为闭包，或者我们说S相对于操作是闭包的。 如果有一个既定的符号来表示操作下一对的映像，例如用于数字相加的a+b，则使用该符号。否则采用其他一些符号，例如(a, b) \mapsto a * b或仅(a, b) \mapsto a b，其中必须指定每种情况下a * b或a b的含义。当我们表示“用表示的操作”时，我们经常说“操作$$”。” \$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。