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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Saturation

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Saturation

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Saturation

Let $I_1, I_2 \subset K[x]{>}$be as in Section 1.8.7. We consider the quotient of $I_1$ by powers of $I_2$ $$ I_1=I_1: I_2^0 \subset I_1: I_2^1 \subset I_1: I_2^2 \subset I_1: I_2^3 \subset \ldots \subset K[x]{>} .
$$
Since $K[x]{>}$is Noetherian, there exists an $s$ such that $I_1: I_2^s=I_1: I_2^{s+i}$ for all $i \geq 0$. Such an $s$ satisfies $$ I_1: I_2^{\infty}:=\bigcup{i \geq 0} I_1: I_2^i=I_1: I_2^s
$$
and $I_1: I_2^s$ is called the saturation of $I_1$ with respect to $I_2$.
The minimal such $s$ is called the saturation exponent. If $I_1$ is radical, then the saturation exponent is 1 .

Problem: Given ideals $I_1, I_2 \subset K[x]_{>}$, we want to compute generators for $I_1: I_2^{\infty}$ and the saturation exponent.
Solution: Set $I^{(0)}=I_1$ and compute successively $I^{(j+1)}=I^{(j)}: I_2, j \geq 0$, by any of the methods of Section 1.8.8. In each step check whether $I^{(j+1)} \subset I^{(j)}$, by using Section 1.8.1. If $s$ is the first $j$ when this happens, then $I^{(s)}=I_1: I_2^{\infty}$ and $s$ is the saturation exponent.

Correctness follows from $I^{(j)}=I_1: I_2^j$, which is a consequence of Lemma 1.8.14 (1). The above method is usually much faster than computing $I_1: I_2^j$, since $I_2^j$ can become quite large.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Dependence and Subalgebra Membership

Recall that a sequence of polynomials $f_1, \ldots, f_k \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is called algebraically dependent if there exists a polynomial $g \in K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \backslash{0}$ satisfying $g\left(f_1, \ldots, f_k\right)=0$. This is equivalent to $\operatorname{Ker}(\varphi) \neq 0$, where $\varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$ is defined by $\varphi\left(y_i\right)=f_i . \operatorname{Ker}(\varphi)$ can be computed according to Section 1.8.10, and any $g \in \operatorname{Ker}(\varphi) \backslash{0}$ defines an algebraic relation between the $f_1, \ldots, f_k$. In particular, $f_1, \ldots, f_k$ are algebraically independent if and only if $\operatorname{Ker}(\varphi)=0$ and this problem was solved in Section 1.8.10.
Related, but slightly different is the subalgebra-membership problem.
Problem: Given $f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, we may ask whether $f$ is an element of the subalgebra $K\left[f_1, \ldots, f_k\right] \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]=K[x]$.
Solution 1: Define $\psi: K\left[y_0, \ldots, y_k\right] \rightarrow K[x], y_0 \mapsto f, y_i \mapsto f_i$, compute $\operatorname{Ker}(\psi)$ according to Section 1.8 .10 and check whether $\operatorname{Ker}(\psi)$ contains an element of the form $y_0-g\left(y_1, \ldots, y_k\right)$. That is, we define an elimination ordering for $x_1, \ldots, x_n$ on $\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_0, \ldots, y_k\right)$ with $y_0$ greater than $y_1, \ldots, y_k$ (for example, $(\mathrm{dp}(\mathrm{n}), \mathrm{dp}(1), \operatorname{dp}(\mathrm{k}))$ ) and compute a standard basis $G$ of $\left\langle y_0-f, y_1-f_1, \ldots y_k-f_k\right\rangle$. Then $G$ contains an element with leading monomial $y_0$ if and only if $f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$.
Solution 2: Compute a standard basis of $\left\langle y_1-f_1, \ldots, y_k-f_k\right\rangle$ for an elimination ordering for $x_1, \ldots, x_n$ on $\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_k\right)$ and check whether the normal form of $f$ with respect to this standard basis does not involve any $x_i$. This is the case if and only if $f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$ and the normal form expresses $f$ as a polynomial in $f_1, \ldots, f_k$.
We omit the proofs for these statements (cf. Exercise 1.8.10).
Note that $f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$ implies a relation $h\left(f, f_1, \ldots, f_k\right)=0$ with $h\left(y_0, y_1, \ldots, y_k\right)=y_0-g\left(y_1, \ldots, y_n\right)$, hence $f, f_1, \ldots, f_k$ are algebraically dependent (the converse does not need to be true).

Note further that the $\operatorname{map} \varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right], y_i \rightarrow f_i(x)$ is surjective if and only if $x_i \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$ for all $i$. Hence, Solution 1 or Solution 2 can be used to check whether a given ring map is surjective.

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交换代数代写

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Saturation

让$I_1, I_2 \subset K[x]{>}$和1.8.7节一样。我们考虑$I_1$的商除以$I_2$$$ I_1=I_1: I_2^0 \subset I_1: I_2^1 \subset I_1: I_2^2 \subset I_1: I_2^3 \subset \ldots \subset K[x]{>} .
$$的幂
因为$K[x]{>}$是诺etherian的,所以存在一个$s$,使得$I_1: I_2^s=I_1: I_2^{s+i}$适用于所有$i \geq 0$。这样的$s$满足$$ I_1: I_2^{\infty}:=\bigcup{i \geq 0} I_1: I_2^i=I_1: I_2^s
$$
$I_1: I_2^s$是$I_1$相对于$I_2$的饱和。
这样的最小值$s$称为饱和指数。如果$I_1$是自由基,则饱和指数为1。

问题:给定理想$I_1, I_2 \subset K[x]_{>}$,我们想要计算$I_1: I_2^{\infty}$和饱和指数的生成器。
解决方法:设置$I^{(0)}=I_1$,依次计算$I^{(j+1)}=I^{(j)}: I_2, j \geq 0$,使用1.8.8节中的任意一种方法。在每一步中检查$I^{(j+1)} \subset I^{(j)}$,请参见1.8.1节。如果$s$是第一个$j$,那么$I^{(s)}=I_1: I_2^{\infty}$和$s$是饱和指数。

从$I^{(j)}=I_1: I_2^j$推导出正确性,这是引理1.8.14(1)的结果。上述方法通常比计算$I_1: I_2^j$快得多,因为$I_2^j$可以变得相当大。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Algebraic Dependence and Subalgebra Membership

回想一下,如果存在一个多项式$g \in K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \backslash{0}$满足$g\left(f_1, \ldots, f_k\right)=0$,那么多项式序列$f_1, \ldots, f_k \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$被称为代数相关的。这相当于$\operatorname{Ker}(\varphi) \neq 0$,其中$\varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$由$\varphi\left(y_i\right)=f_i . \operatorname{Ker}(\varphi)$定义,可以根据第1.8.10节计算,任何$g \in \operatorname{Ker}(\varphi) \backslash{0}$定义了$f_1, \ldots, f_k$之间的代数关系。特别地,$f_1, \ldots, f_k$在代数上是独立的,当且仅当$\operatorname{Ker}(\varphi)=0$,这个问题在1.8.10节中已经解决了。
子代数隶属性问题与之相关,但略有不同。
问题:给定$f \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$,我们可以问$f$是否是子代数$K\left[f_1, \ldots, f_k\right] \subset K\left[x_1, \ldots, x_n\right]=K[x]$的一个元素。
解决方案1:定义$\psi: K\left[y_0, \ldots, y_k\right] \rightarrow K[x], y_0 \mapsto f, y_i \mapsto f_i$,根据章节1.8 .10计算$\operatorname{Ker}(\psi)$,并检查$\operatorname{Ker}(\psi)$是否包含表单$y_0-g\left(y_1, \ldots, y_k\right)$的元素。也就是说,我们在$\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_0, \ldots, y_k\right)$上为$x_1, \ldots, x_n$定义一个消去顺序,其中$y_0$大于$y_1, \ldots, y_k$(例如$(\mathrm{dp}(\mathrm{n}), \mathrm{dp}(1), \operatorname{dp}(\mathrm{k}))$),并计算$\left\langle y_0-f, y_1-f_1, \ldots y_k-f_k\right\rangle$的标准基$G$。那么$G$包含一个前导单项式$y_0$的元素,当且仅当$f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$。
解决方案2:为$\operatorname{Mon}\left(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_k\right)$上的$x_1, \ldots, x_n$的消去顺序计算一个标准基$\left\langle y_1-f_1, \ldots, y_k-f_k\right\rangle$,并检查$f$相对于该标准基的正常形式是否不涉及任何$x_i$。当且仅当$f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$和范式将$f$表示为$f_1, \ldots, f_k$中的多项式时,才会出现这种情况。
我们省略了这些表述的证明(参见练习1.8.10)。
注意$f \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$暗示了$h\left(f, f_1, \ldots, f_k\right)=0$与$h\left(y_0, y_1, \ldots, y_k\right)=y_0-g\left(y_1, \ldots, y_n\right)$的关系,因此$f, f_1, \ldots, f_k$在代数上是相关的(反之则不需要成立)。

进一步注意,$\operatorname{map} \varphi: K\left[y_1, \ldots, y_k\right] \rightarrow K\left[x_1, \ldots, x_n\right], y_i \rightarrow f_i(x)$是满射当且仅当$x_i \in K\left[f_1, \ldots, f_k\right]$适用于所有$i$。因此,可以使用解决方案1或解决方案2来检查给定的环映射是否是满射。

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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