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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|Continuity

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Continuity

We first give the following definition.
Definition 1.1. Let $\left(X, d_X\right)$ and $\left(Y, d_Y\right)$ be two metric spaces.
(i) Let $E \subseteq X$ and $f: E \rightarrow Y$. Let $x_0$ be a limit point of $E$. We say that $f(x)$ is convergent to $L \in Y$ as $x \rightarrow x_0$ if for any $\varepsilon>0$, there exists a $\delta>0$ such that
$$d_Y(f(x), L)<\varepsilon, \quad \forall x \in E, 0{x \rightarrow x_0} f(x) \equiv \lim {E \ni x \rightarrow x_0} f(x)=L$$ (ii) Let $f: X \rightarrow Y$. We say that $f(\cdot)$ is continuous at $x_0 \in X$ if for every $\varepsilon>0$, there exists a $\delta>0$ such that
$$d_Y\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon, \quad \forall d_X\left(x, x_0\right)<\delta$$ We say that $f(\cdot)$ is continuous on $X$ if it is continuous at every $x \in X$. The most important example of the above is the case $\left(X, d_X\right)=\left(\mathbb{R}^m, \rho_2\right)$ and $\left(Y, d_Y\right)=(\mathbb{R}, \rho)$. Any $f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$, with $m>1$, is called a multivariable function. The following gives some equivalent conditions for a function being continuous at a given point $x_0$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Compactness preserving and uniform continuity

The following result is concerned with the compactness preserving property of continuous functions.

Theorem 2.1. Let $\left(X, d_X\right)$ and $\left(Y, d_Y\right)$ be metric spaces. Let $f: X \rightarrow Y$ be continuous.
(i) Let $K \subseteq X$ be compact. Then
$$f(K)={f(x) \mid x \in K}$$
is compact in $Y$.
(ii) Let $Y=\mathbb{R}$, and $\left(X, d_X\right)$ be compact. Then $f(\cdot)$ is bounded and it attains its maximum and minimum.

Proof. (i) Let $\left{y_n\right}_{n \geqslant 1}$ be any sequence from $f(K)$. Then there is a sequence $\left{x_n\right}_{n \geqslant 1} \subseteq K$ such that
$$f\left(x_n\right)=y_n, \quad n \geqslant 1$$
Since $K$ is compact, there exists a subsequence $\left{x_{n_k}\right}_{k \geqslant 1}$ such that $x_{n_k} \rightarrow$ $\bar{x} \in K$. Then by the continuity of $f(\cdot)$, we have
$$y_{n_k}=f\left(x_{n_k}\right) \rightarrow f(\bar{x}) \in f(K),$$
which shows the compactness of $f(K)$.
(ii) See the next theorem.
The next theorem generalizes (ii) of the above theorem.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Continuity

1.1.定义让 $\left(X, d_X\right)$ 和 $\left(Y, d_Y\right)$ 是两个度规空间。
(i)让 $E \subseteq X$ 和 $f: E \rightarrow Y$． 让 $x_0$ 的极限点 $E$． 我们说 $f(x)$ 收敛于 $L \in Y$ as $x \rightarrow x_0$ 如果有的话 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 这样
$$d_Y(f(x), L)<\varepsilon, \quad \forall x \in E, 0{x \rightarrow x_0} f(x) \equiv \lim {E \ni x \rightarrow x_0} f(x)=L$$ (ii)让 $f: X \rightarrow Y$． 我们说 $f(\cdot)$ 连续于 $x_0 \in X$ 如果对于每一个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 这样
$$d_Y\left(f(x), f\left(x_0\right)\right)<\varepsilon, \quad \forall d_X\left(x, x_0\right)<\delta$$ 我们说 $f(\cdot)$ 是连续的 $X$ 如果它是连续的 $x \in X$． 上述最重要的例子就是这个案例 $\left(X, d_X\right)=\left(\mathbb{R}^m, \rho_2\right)$ 和 $\left(Y, d_Y\right)=(\mathbb{R}, \rho)$． 有吗? $f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$， with $m>1$，称为多变量函数。下面给出了函数在给定点连续的一些等价条件 $x_0$．

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Compactness preserving and uniform continuity

(i)使$K \subseteq X$紧凑。然后
$$f(K)={f(x) \mid x \in K}$$

(二)使$Y=\mathbb{R}$和$\left(X, d_X\right)$紧密相连。那么$f(\cdot)$是有界的，它达到了最大值和最小值。

$$f\left(x_n\right)=y_n, \quad n \geqslant 1$$

(ii)见下一个定理。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。