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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|Definition of Integrals

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Definition of Integrals

We recall $\mathbb{Z}$, the set of all integers, and let $\mathcal{A}^m$ be the set of all arrays $\alpha$ :
$$\alpha \equiv\left{\left(\alpha_1^{j_1}, \alpha_2^{j_2}, \cdots, \alpha_m^{j_m}\right) \mid \alpha_i^{j_i} \in \mathbb{R}, j_i \in \mathbb{Z}, 1 \leqslant i \leqslant m\right} \subseteq \mathbb{R}^m,$$
satisfying the following conditions:
$$\left{\begin{array}{l} \alpha_i^j<\alpha_i^{j+1}, \quad j \in \mathbb{Z}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m, \ \lim {j \rightarrow-\infty} \alpha_i^j=-\infty, \quad \lim {j \rightarrow \infty} \alpha_i^j=\infty, \quad 1 \leqslant i \leqslant m, \ |\alpha| \equiv \max {1 \leqslant i \leqslant m} \sup {j \in \mathbb{Z}}\left[\alpha_i^{j+1}-\alpha_i^j\right]<\infty . \end{array}\right.$$
We call $|\alpha|$ the mesh size of $\alpha$. For any $\alpha \in \mathcal{A}^m$, define
$$\mathcal{Q}^\alpha \triangleq\left{Q=\prod_{i=1}^m\left[\alpha_i^{j_i}, \alpha_i^{j_i+1}\right] \mid\left(\alpha_1^{j_1}, \alpha_2^{j_2}, \cdots, \alpha_m^{j_m}\right) \in \alpha\right}$$
Clearly,
$$\left{\begin{array}{l} \mathbb{R}^m=\bigcup_{Q \in \mathcal{Q}^\alpha} Q, \ Q^{\circ} \cap \widetilde{Q}=\varnothing, \quad \forall Q, \widetilde{Q} \in \mathcal{Q}^\alpha, Q \neq \widetilde{Q} . \end{array}\right.$$
We call $\mathcal{Q}^\alpha$ the rectangular partition of $\mathbb{R}^m$ associated with the array $\alpha$. For $Q=\prod_{i=1}^m\left[\alpha_i^{j_i}, \alpha_i^{j_i+1}\right] \in \mathcal{Q}^\alpha$, its diameter, denoted by $\operatorname{diam}(Q)$, is defined by the following:
$$\operatorname{diam}(Q)=\left{\sum_{i=1}^m\left(\alpha_i^{j_i+1}-\alpha_i^{j_i}\right)^2\right}^{\frac{1}{2}} \leqslant \sqrt{m}|\alpha|$$
and its volume (in $\mathbb{R}^m$ ), denoted by $|Q|$, is defined by
$$|Q| \equiv \prod_{i=1}^m\left(\alpha_i^{j_i+1}-\alpha_i^{j_i}\right) \leqslant|\alpha|^m .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Properties of Integrals

The following result collects some basic properties of Riemann integrable functions.
Proposition 2.1. Let $G \subseteq \mathbb{R}^m$ be a bounded domain satisfying (H1).
(i) For any $f(\cdot), g(\cdot) \in L_R(G)$, and $c \in \mathbb{R}$,
$$\int_G[c f(x)+g(x)] d x=c \int_G f(x) d x+\int_G g(x) d x .$$
Consequently, $L_R(G)$ is a linear space. The same conclusion also holds for $L_R^p(G)$
(ii) If $f(\cdot), g(\cdot) \in L_R(G)$ and
$$f(x) \leqslant g(x), \quad \forall x \in G,$$
then
$$\int_G f(x) d x \leqslant \int_G g(x) d x$$
Thus, the Riemann integral preserves the order of $\mathbb{R}$. Consequently, for any $f(\cdot) \in L_R^1(G)$,
$$\left|\int_G f(x) d x\right| \leqslant \int_G|f(x)| d x$$
(iii) Let $f(\cdot), g(\cdot) \in L_R^{\infty}(G)$. Then $f(\cdot) g(\cdot),|f(\cdot)|, f(\cdot) \vee g(\cdot)$, and $f(\cdot) \wedge$ $g(\cdot)$ are in $L_R^{\infty}(G)$, where recall that $a \vee b=\max {a, b}$ and $a \wedge b=\min {a, b}$.
(iv) Let $\bar{G}=\bar{G}_1 \cup \bar{G}_2$ with both $G_1$ and $G_2$ satisfying (H1), and
$$G_1 \bigcap G_2=\varnothing$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Definition of Integrals

$$\alpha \equiv\left{\left(\alpha_1^{j_1}, \alpha_2^{j_2}, \cdots, \alpha_m^{j_m}\right) \mid \alpha_i^{j_i} \in \mathbb{R}, j_i \in \mathbb{Z}, 1 \leqslant i \leqslant m\right} \subseteq \mathbb{R}^m,$$

$$\left{\begin{array}{l} \alpha_i^j<\alpha_i^{j+1}, \quad j \in \mathbb{Z}, \quad 1 \leqslant i \leqslant m, \ \lim {j \rightarrow-\infty} \alpha_i^j=-\infty, \quad \lim {j \rightarrow \infty} \alpha_i^j=\infty, \quad 1 \leqslant i \leqslant m, \ |\alpha| \equiv \max {1 \leqslant i \leqslant m} \sup {j \in \mathbb{Z}}\left[\alpha_i^{j+1}-\alpha_i^j\right]<\infty . \end{array}\right.$$

$$\mathcal{Q}^\alpha \triangleq\left{Q=\prod_{i=1}^m\left[\alpha_i^{j_i}, \alpha_i^{j_i+1}\right] \mid\left(\alpha_1^{j_1}, \alpha_2^{j_2}, \cdots, \alpha_m^{j_m}\right) \in \alpha\right}$$

$$\left{\begin{array}{l} \mathbb{R}^m=\bigcup_{Q \in \mathcal{Q}^\alpha} Q, \ Q^{\circ} \cap \widetilde{Q}=\varnothing, \quad \forall Q, \widetilde{Q} \in \mathcal{Q}^\alpha, Q \neq \widetilde{Q} . \end{array}\right.$$

$$\operatorname{diam}(Q)=\left{\sum_{i=1}^m\left(\alpha_i^{j_i+1}-\alpha_i^{j_i}\right)^2\right}^{\frac{1}{2}} \leqslant \sqrt{m}|\alpha|$$

$$|Q| \equiv \prod_{i=1}^m\left(\alpha_i^{j_i+1}-\alpha_i^{j_i}\right) \leqslant|\alpha|^m .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Properties of Integrals

(i)对于任何$f(\cdot), g(\cdot) \in L_R(G)$和$c \in \mathbb{R}$，
$$\int_G[c f(x)+g(x)] d x=c \int_G f(x) d x+\int_G g(x) d x .$$

(ii)如果$f(\cdot), g(\cdot) \in L_R(G)$和
$$f(x) \leqslant g(x), \quad \forall x \in G,$$

$$\int_G f(x) d x \leqslant \int_G g(x) d x$$

$$\left|\int_G f(x) d x\right| \leqslant \int_G|f(x)| d x$$
(三)让$f(\cdot), g(\cdot) \in L_R^{\infty}(G)$。然后$f(\cdot) g(\cdot),|f(\cdot)|, f(\cdot) \vee g(\cdot)$和$f(\cdot) \wedge$$g(\cdot)在L_R^{\infty}(G)中，请记住a \vee b=\max {a, b}和a \wedge b=\min {a, b}。 (iv)设\bar{G}=\bar{G}_1 \cup \bar{G}_2, G_1和G_2均满足(H1)，且$$ G_1 \bigcap G_2=\varnothing$\$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。