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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|Series of Numbers

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Series of Numbers

We first introduce the following definition.
Definition 1.1. (i) Let $\left{a_n\right} \in \ell^0$. A formal summation $\sum_{n=0}^{\infty} a_n \equiv \sum a_n$ is called a series.
(ii) For a series $\sum a_n$, the following is called a partial sum of the series:
$$S_N=\sum_{n=0}^N a_n, \quad N \geqslant 0 .$$
(iii) A series $\sum a_n$ is said to be convergent if the sequence $\left{S_N\right}_{N \geqslant 0}$ of partial sums is convergent, i.e., there exists an $L \in \mathbb{R}$ such that for any $\varepsilon>0$, one can find an $N_0 \geqslant 0$ having the following property
$$\left|S_N-L\right| \equiv\left|\sum_{n=0}^N a_n-L\right|<\varepsilon, \quad \forall N \geqslant N_0 .$$
In this case, $L$ is called the sum of the series and denote $L=\sum a_n$. If $\sum a_n$ is not convergent, it is said to be divergent.

From the above, we see that a series is convergent if and only if the sequence of its partial sums is convergent. Hence, we have the following result whose proof is left to the readers.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Series of Functions

Let $(X, d)$ be a metric space and $f_n: X \rightarrow \mathbb{R}$ be a sequence of functions $n \geqslant 1$. We now consider the following type series: $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$. For any given $x \in X$, the above is a usual series of real numbers. To study the above series, we define the partial sum as follows:
$$S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x), \quad x \in X$$
We have the following definition.
Definition 3.1. If for each $x \in X, S_N(x)$ is convergent to some number, denoted by $S(x)$, then we say that the series is pointwise convergent, and write
$$S(x)=\lim {N \rightarrow \infty} S_N(x)=\sum{n=1}^{\infty} f_n(x), \quad x \in X .$$
If the convergence is uniform in $x \in X$, we say that the series is uniformly convergent.

Definition 3.2. For any bounded function $f: X \rightarrow \mathbb{R}$, we define the sup norm of $f(\cdot)$ by the following:
$$|f|_{\infty}=\sup _{x \in X}|f(x)|$$
The following is the simplest criterion for the convergence of function series.
Theorem 3.3. (Weierstrass $M$-Test) Let $(X, d)$ be a metric space and let $f_n(\cdot)$ be a sequence of bounded real-valued continuous functions on $X$ such that
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_n\right|_{\infty}<\infty$$
Then the series $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converges uniformly to some continuous function $S(\cdot)$ on $X$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Series of Numbers

1.1.定义(i)让$\left{a_n\right} \in \ell^0$。一个正式的求和$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \equiv \sum a_n$称为级数。
(ii)对于级数$\sum a_n$，以下称为该级数的部分和:
$$S_N=\sum_{n=0}^N a_n, \quad N \geqslant 0 .$$
(iii)如果部分和的序列$\left{S_N\right}{N \geqslant 0}$是收敛的，则称一个级数$\sum a_n$是收敛的，即存在一个$L \in \mathbb{R}$，使得对于任何一个$\varepsilon>0$，都能找到一个具有以下性质的$N_0 \geqslant 0$ $$\left|S_N-L\right| \equiv\left|\sum{n=0}^N a_n-L\right|<\varepsilon, \quad \forall N \geqslant N_0 .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Series of Functions

$$S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x), \quad x \in X$$

3.1.定义如果每个$x \in X, S_N(x)$收敛于某个数，记作$S(x)$，那么我们说这个级数是逐点收敛的，然后写
$$S(x)=\lim {N \rightarrow \infty} S_N(x)=\sum{n=1}^{\infty} f_n(x), \quad x \in X .$$

3.2.定义对于任意有界函数$f: X \rightarrow \mathbb{R}$，我们定义$f(\cdot)$的sup范数如下:
$$|f|{\infty}=\sup {x \in X}|f(x)|$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_n\right|{\infty}<\infty$$ 然后级数$\sum{n=1}^{\infty} f_n(x)$一致收敛于$X$上的某个连续函数$S(\cdot)$。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。