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数学代写|有限元方法代写finite differences method代考|Summation convention

如果你也在 怎样代写有限元方法finite differences method 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。有限元方法finite differences method在数值分析中,是一类通过用有限差分逼近导数解决微分方程的数值技术。空间域和时间间隔(如果适用)都被离散化,或被分成有限的步骤,通过解决包含有限差分和附近点的数值的代数方程来逼近这些离散点的解的数值。

有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程(ODE)或偏微分方程(PDE)转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算,再加上其相对容易实现,使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天,FDM与有限元方法一样,是数值解决PDE的最常用方法之一。

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数学代写|有限元方法代写finite differences method代考|Summation convention

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Summation convention

It is useful to abbreviate a summation of terms by understanding that a repeated index means summation over all values of that index. Thus the summation
$$
\mathbf{A}=\sum_{i=1}^3 A_i \mathbf{e}i $$ can be shortened to $$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i $$ The repeated index is a dummy index and thus can be replaced by any other symbol that has not already been used. Thus we can also write $$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i=A_m \mathbf{e}_m $$ and so on. The “dot product” $\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j$ and “cross product” $\hat{\mathbf{e}}_i \times \hat{\mathbf{e}}_j$ of base vectors in a righthanded system are defined by $$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \delta{i j}= \begin{cases}0, & \text { if } i \neq j \
1, & \text { if } i=j\end{cases} \
& \hat{\mathbf{e}}i \times \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \varepsilon{i j k} \hat{\mathbf{e}}_k
\end{aligned}
$$

where $\delta_{i j}$ is the Kronecker delta and $\varepsilon_{i j k}$ is the alternating symbol or permutation symbol
$$
\varepsilon_{i j k}=\left{\begin{aligned}
1, & \text { if } i, j, k \text { are in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
-1, & \text { if } i, j, k \text { are not in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
0, & \text { if any of } i, j, k \text { are repeated. }
\end{aligned}\right.
$$
Note that in Eq. (2.2.6), $k$ is a dummy index, while $i$ and $j$ are not. The latter are called free indices. A free index can be changed to some other index only when it is changed in every expression of the equation to the same index. Thus, we can write Eq. (2.2.6) as
$$
\hat{\mathbf{e}}m \times \hat{\mathbf{e}}_j=\varepsilon{m j k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_m \times \hat{\mathbf{e}}_n=\varepsilon{m n k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_p \times \hat{\mathbf{e}}_q=\varepsilon{p q k} \hat{\mathbf{e}}_k
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The del operator

Differentiation of vector functions with respect to the coordinates is common in science and engineering. Most of the operations involve the “del operator”, denoted by $\nabla$. In a rectangular Cartesian system it has the form
$$
\nabla \equiv \hat{\mathbf{e}}_x \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{e}}_y \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}
$$
It is important to note that the del operator has some of the properties of a vector but it does not have them all, because it is an operator. The operation $\nabla \phi(\mathbf{x})$ is called the gradient of a scalar function $\phi$ whereas $\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x})$ is called the curl of a vector function $\mathbf{A}$. The operator $\nabla^2 \equiv \nabla \cdot \nabla$ is called the Laplace operator. In a 3-D rectangular Cartesian coordinate system it has the form
$$
\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$
We have the following relations between the rectangular Cartesian coordinates $(x, y, z)$ and cylindrical coordinates $(r, \theta, z)$ (see Fig. 2.2.2):

$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z
$$
The base vectors in the two coordinate systems are related by
$$
\hat{\mathbf{e}}r=\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}\theta=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}_z=\hat{\mathbf{e}}_z $$ Note that the base vectors of the cylindrical coordinate system are not constant; the direction of $\theta$ and $r$-coordinates change as we move around the cylindrical surface. Thus, we have $$ \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}_r}{\partial \theta}=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y=\hat{\mathbf{e}}\theta, \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}\theta}{\partial \theta}=-\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y=-\hat{\mathbf{e}}_r $$ and all other derivatives of the base vectors are zero. The operators $\nabla$ and $\nabla^2$ in the cylindrical coordinate system are given by (see Reddy $[2,3]$ ) $$ \boldsymbol{\nabla}=\hat{\mathrm{e}}_r \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r} \hat{\mathrm{e}}\theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\hat{\mathrm{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}, \quad \nabla^2=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+r \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]
$$

数学代写|有限元方法代写finite differences method代考|Summation convention

有限元代写

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Summation convention

通过理解重复索引意味着对该索引的所有值求和,可以简化项的求和。这就是求和
$$
\mathbf{A}=\sum_{i=1}^3 A_i \mathbf{e}i $$可以缩写为$$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i $$重复索引是一个虚拟索引,因此可以用任何其他尚未使用过的符号代替。因此,我们也可以写$$ \mathbf{A}=A_i \mathbf{e}_i=A_m \mathbf{e}_m $$等等。右手坐标系中基向量的“点积”$\hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j$和“叉积”$\hat{\mathbf{e}}_i \times \hat{\mathbf{e}}_j$定义为 $$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \delta{i j}= \begin{cases}0, & \text { if } i \neq j \
1, & \text { if } i=j\end{cases} \
& \hat{\mathbf{e}}i \times \hat{\mathbf{e}}_j \equiv \varepsilon{i j k} \hat{\mathbf{e}}_k
\end{aligned}
$$

其中$\delta_{i j}$是克罗内克符号$\varepsilon_{i j k}$是交替符号或排列符号
$$
\varepsilon_{i j k}=\left{\begin{aligned}
1, & \text { if } i, j, k \text { are in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
-1, & \text { if } i, j, k \text { are not in cyclic order } \
& \text { and not repeated }(i \neq j \neq k), \
0, & \text { if any of } i, j, k \text { are repeated. }
\end{aligned}\right.
$$
注意,在Eq.(2.2.6)中,$k$是一个虚拟索引,而$i$和$j$不是。后者称为自由索引。只有当一个自由索引在等式的每个表达式中都被更改为相同的索引时,它才能被更改为其他索引。因此,我们可以将Eq.(2.2.6)写成
$$
\hat{\mathbf{e}}m \times \hat{\mathbf{e}}_j=\varepsilon{m j k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_m \times \hat{\mathbf{e}}_n=\varepsilon{m n k} \hat{\mathbf{e}}k ; \quad \hat{\mathbf{e}}_p \times \hat{\mathbf{e}}_q=\varepsilon{p q k} \hat{\mathbf{e}}_k
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|The del operator

向量函数关于坐标的微分在科学和工程中是很常见的。大多数操作都涉及“del操作符”,用$\nabla$表示。在直角笛卡尔坐标系中,它有这样的形式
$$
\nabla \equiv \hat{\mathbf{e}}_x \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\mathbf{e}}_y \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\mathbf{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}
$$
重要的是要注意,del运算符具有向量的一些属性,但它不具有所有属性,因为它是一个运算符。操作$\nabla \phi(\mathbf{x})$称为标量函数的梯度$\phi$,而$\nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x})$称为矢量函数$\mathbf{A}$的旋度。算子$\nabla^2 \equiv \nabla \cdot \nabla$被称为拉普拉斯算子。在三维直角笛卡尔坐标系中,它有这样的形式
$$
\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$
直角笛卡尔坐标$(x, y, z)$与柱坐标$(r, \theta, z)$的关系如下图2.2.2:

$$
x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z
$$
两个坐标系中的基向量由
$$
\hat{\mathbf{e}}r=\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}\theta=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y, \quad \hat{\mathbf{e}}_z=\hat{\mathbf{e}}_z $$注意圆柱坐标系的基向量不是恒定的;当我们绕圆柱面移动时,$\theta$和$r$坐标的方向会改变。因此,我们有$$ \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}_r}{\partial \theta}=-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_x+\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_y=\hat{\mathbf{e}}\theta, \frac{\partial \hat{\mathbf{e}}\theta}{\partial \theta}=-\cos \theta \hat{\mathbf{e}}_x-\sin \theta \hat{\mathbf{e}}_y=-\hat{\mathbf{e}}_r $$所有基向量的导数都是零。柱坐标系中的算子$\nabla$和$\nabla^2$由(参见Reddy $[2,3]$)给出。 $$ \boldsymbol{\nabla}=\hat{\mathrm{e}}_r \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r} \hat{\mathrm{e}}\theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\hat{\mathrm{e}}_z \frac{\partial}{\partial z}, \quad \nabla^2=\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+r \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]
$$

数学代写|有限元代写Finite Element Method代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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