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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Exact differential equations

如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中,常微分方程(ODE)是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的(见,例如Riccati方程)。

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In the discussion on simple ODEs of type 2 , we have already used the fact that an ODE $y^{\prime}=f(x, y)$ can be also represented as an equation involving differentials as $d y=f(x, y) d x$ or, equivalently, $f(x, y) d x-d y=0$. An exact differential equation extends this concept for specific sets of coefficient functions of $d x$ and $d y$.
The starting point of our discussion is the following equation:
$$
g(x, y) d x+h(x, y) d y=0
$$
(Also called differential form.) This equation appears as a simple reformulation of the ODE $y^{\prime}=f(x, y)$, in the case where $f(x, y)=-g(x, y) / h(x, y)$. However, this reformulation can be advantageous to extend the validity of the ODE problem.
To illustrate this fact, consider the ODE
$$
y^{\prime}+\frac{x}{y}=0
$$
The general solutions to this equation are given by $y(x ; c)= \pm \sqrt{c^2-x^2}$, both defined in the open interval $-|c|<x<|c|$. On $x= \pm c$ the equation is not defined since $y=0$ although it is clear that $y=0$ at $x= \pm c$. However, if we now rewrite the differential equation (2.8), we have $x d x+y d y=0$. Now, we recognise that this latter equation corresponds to the differential of $F(x, y)=x^2+y^2=c^2$, which gives, in implicit form, the general solution of our ODE, that is, semicircles centred on the origin and their radius is determined by the constant of integration.

Notice that, for the differential equation (2.8) to be well defined, the functions $g$ and $h$ cannot be both zero at the same $(x, y)$, otherwise the equation becomes indefinite. Therefore, we require
$$
g^2+h^2>0
$$

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The Cauchy problem and existence of solutions

The theory of ODEs focuses on the issue of existence and regularity of solutions to ordinary differential equations. In this chapter, we illustrate the main ‘classical’ results in this field in the case of scalar equations. These results are very well discussed in the book by Earl Alexander Coddington and Norman Levinson [36] to which we refer for further details.

Now, our main purpose is to prove existence of a real differentiable function $y$ defined on a real interval $I$ such that
$$
y^{\prime}=f(x, y(x)), \quad(x, y(x)) \in D, \quad x \in I
$$
From a geometrical point of view, a solution $y$ on $I$ is a function whose graph $(x, y(x)), x \in I$, has the slope $f(x, y(x))$ for each $x \in I$.

We assume that $I \subset \mathbb{R}$ denotes an interval that can be closed, open or partially closed, i.e. $[a, b],(a, b),[a, b),(a, b], a<b$. Further, the domain $D$ denotes an open connected set in the $(x, y)$ plane. Following the usual notation, with $C^k(I)$, resp. $C^k(D)$, we denote the set of real-valued functions having continuous derivatives up to order $k$; in $x, \frac{d^k}{d x^k}$, resp. in $x$ and $y, \frac{\partial^k}{\partial x^p \partial y^q}$, $p+q=k$. In the case of closed or partially closed $I$, we refer to one-sided derivatives at the end points. See the Appendix for more details on these function spaces.

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常微分方程代写

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在关于类型2的简单ODE的讨论中,我们已经使用了这样一个事实,即ODE $y^{\prime}=f(x, y)$也可以表示为包含$d y=f(x, y) d x$或$f(x, y) d x-d y=0$等微分的方程。一个精确微分方程将这个概念扩展到$d x$和$d y$的特定系数函数集。
我们讨论的起点是下面的等式:
$$
g(x, y) d x+h(x, y) d y=0
$$
(也称为微分形式。)这个方程是ODE $y^{\prime}=f(x, y)$的一个简单的重新表述,在$f(x, y)=-g(x, y) / h(x, y)$。然而,这种重新表述有利于扩展ODE问题的有效性。
为了说明这个事实,考虑一下ODE
$$
y^{\prime}+\frac{x}{y}=0
$$
方程的通解由$y(x ; c)= \pm \sqrt{c^2-x^2}$给出,它们都在开放区间$-|c|<x<|c|$中定义。在$x= \pm c$上,方程没有定义,因为$y=0$,尽管很明显,$y=0$在$x= \pm c$。然而,如果我们现在重写微分方程(2.8),我们有$x d x+y d y=0$。现在,我们认识到后一个方程对应于$F(x, y)=x^2+y^2=c^2$的微分,它以隐式形式给出了ODE的通解,即以原点为中心的半圆,它们的半径由积分常数决定。

请注意,要使微分方程(2.8)定义良好,函数$g$和$h$不能在同一$(x, y)$处都为零,否则方程将变得不定。因此,我们要求
$$
g^2+h^2>0
$$

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微分方程理论主要研究常微分方程解的存在性和正则性问题。在本章中,我们将举例说明标量方程在这一领域中的主要“经典”结果。这些结果在Earl Alexander Coddington和Norman Levinson[36]的书中得到了很好的讨论,我们可以参考他们的进一步细节。

现在,我们的主要目的是证明一个在实数区间$I$上定义的实可微函数$y$的存在性,使得
$$
y^{\prime}=f(x, y(x)), \quad(x, y(x)) \in D, \quad x \in I
$$
从几何角度来看,$I$上的解$y$是一个函数,其图形$(x, y(x)), x \in I$对于每个$x \in I$的斜率为$f(x, y(x))$。

我们假设$I \subset \mathbb{R}$表示一个可以关闭、打开或部分关闭的区间,即$[a, b],(a, b),[a, b),(a, b], a<b$。此外,域$D$表示$(x, y)$平面中的开放连接集。按照通常的符号,$C^k(I)$, resp。$C^k(D)$,我们表示具有连续导数至$k$阶的实值函数集;在$x, \frac{d^k}{d x^k}$中,resp。在$x$和$y, \frac{\partial^k}{\partial x^p \partial y^q}$中,$p+q=k$。在闭合或部分闭合$I$的情况下,我们指的是端点处的单侧导数。有关这些函数空间的更多细节,请参见附录。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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