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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Simple ODE of 3. type, y^=f(x) g(y)

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Simple ODE of 3. type, y^=f(x) g(y)

The ODE type $y^{\prime}=f(x) g(y)$ simply combines the previous two types as it can be made clear by separation of variables. Assume that $f$ and $g$ are continuous and $g(y)$ be non-zero for an appropriate range of values of $y$. Proceeding as in the previous case, we obtain
$$\int \frac{d s}{g(s)}=\int f(\tau) d \tau$$
Now, let $F$ and $G$ be the primitive functions of $f$ and $\frac{1}{g}$, respectively. Hence, the general solution to our ODE of 3. type is given in implicit form by $G(y)=$ $F(x)+c$. Notice that, if $g\left(y_0\right)=0$ for some $y_0$, then a solution to the ODE is given by $y(x)=y_0$.

Example 2.2 Consider the $O D E y^{\prime}=e^y \sin x$. Separation of variables and integration results in $\int e^{-y} d y=\int \sin x d x$. Hence, we obtain the general solution
$$y(x ; c)=-\log (\cos x+c)$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Simple ODE of 4. type, y^=f(a x+b y+d)

We assume that $a, b$, and $d$ are real numbers and $b \neq 0$; let $f$ be a continuous function. To determine the solution to the ODE $y^{\prime}=f(a x+b y+d)$, we introduce the auxiliary function $u(x)=a x+b y(x)+d$. Therefore, if $y$ is the solution sought, then $u$ solves the ODE of 2 . type $u^{\prime}=a+b y^{\prime}=a+b f(u)$. Once $u$ is obtained, the solution to our ODE of 4 . type is given by
$$y(x ; c)=\frac{u(x ; c)-a x-d}{b}$$
Example 2.3 Consider the $O D E y^{\prime}=(x+y)^2$. Let $u(x)=x+y(x)$ and derive $u^{\prime}=1+u^2$. The latter ODE has the general solution given by $u(x)=\tan (x+c)$. Hence, we obtain
$$y(x ; c)=\tan (x+c)-x .$$

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Simple ODE of 3. type, y^=f(x) g(y)

ODE类型$y^{\prime}=f(x) g(y)$简单地组合了前面两种类型，因为它可以通过分离变量来明确。假设$f$和$g$是连续的，并且对于$y$的适当范围，$g(y)$是非零的。按照前一种情况进行，我们得到
$$\int \frac{d s}{g(s)}=\int f(\tau) d \tau$$

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