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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Systems of first-order ODEs

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Systems of first-order ODEs

A system of first-order ODEs with $n \in \mathbb{N}$ components, consists of $n$ scalar first-order ODEs for $n$ real-valued functions, $y_1, \ldots, y_n$, of the independent variable $x$. We consider such a system in the following normal form:
\begin{aligned} & y_1^{\prime}=f_1\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \ & y_2^{\prime}=f_2\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \ & \text {… } \ & y_n^{\prime}=f_n\left(x, y_1, \ldots y_n\right) . \ & \end{aligned}

In this setting, we assume that the functions $f_i, i=1, \ldots, n$, are continuous on a domain $D \subset \mathbb{R}^{n+1}$ of the $\left(x, y_1, \ldots y_n\right)$ space. In order to write (4.1) in a compact way, we introduce the following formalism with column vectors. Define
$$\underline{y}(x)=\left(\begin{array}{c} y_1(x) \ \vdots \ y_n(x) \end{array}\right), \quad \underline{f}(x, \underline{y})=\left(\begin{array}{c} f_1\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \ \vdots \ f_n\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \end{array}\right)$$
Vector functions as $\underline{y}$ and $\underline{f}$ are said continuous if so are their respective components; similarly for matrices of functions. The derivative of $\underline{y}$ and its integral are given by:
$$\underline{y}^{\prime}(x)=\left(\begin{array}{c} y_1^{\prime}(x) \ \vdots \ y_n^{\prime}(x) \end{array}\right), \quad \int_a^b \underline{y}(x) d x=\left(\begin{array}{c} \int_a^b y_1(x) d x \ \vdots \ \int_a^b y_n(x) d x \end{array}\right)$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Dependence of solutions on the initial conditions

The formulation of the initial-value problem given in (4.4) shows that a solution to a differential equation on an interval $I$ can be considered as a function of $x, x_0$, and $\underline{y}_0$, for an appropriate range of values. To remark this fact, we denote a solution to (4.4) as $\underline{y}\left(x, x_0, \underline{y}_0\right)$. This step leads us to consider the problem of the behaviour of the solution $\underline{y}$ with respect to the variables $\left(x, x_0, \underline{y}_0\right)$. We have the following theorem.

Theorem 4.1 Let $\underline{f} \in(C$, Lip) in a domain $D$ of the $(n+1)$-dimensional $(x, \underline{y})$ space, and assume $\underline{z}$ is a solution of (4.3) where $I=[a, b]$. Then there exists a $\delta>0$ such that for any $\left(x_0, \underline{y}_0\right) \in U$, where $U$ is given by $U=$ $\left{\left(x_0, \underline{y}_0\right) \in D: x_0 \in(a, b),\left|\underline{y}_0-\underline{z}\left(x_0\right)\right|<\delta\right}$, there exists a unique solution $\underline{y}$ of $(4.3)$ with $y\left(x_0, x_0, \underline{y}_0\right)=\underline{y}_0$. Moreover, $\underline{y}$ is continuous on the $(n+2)$ dimensional set
$$V=\left{\left(x, s, \underline{y}_0\right) \in D: x \in(a, b),\left(s, \underline{y}_0\right) \in U\right} .$$

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Systems of first-order ODEs

\begin{aligned} & y_1^{\prime}=f_1\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \ & y_2^{\prime}=f_2\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \ & \text {… } \ & y_n^{\prime}=f_n\left(x, y_1, \ldots y_n\right) . \ & \end{aligned}

$$\underline{y}(x)=\left(\begin{array}{c} y_1(x) \ \vdots \ y_n(x) \end{array}\right), \quad \underline{f}(x, \underline{y})=\left(\begin{array}{c} f_1\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \ \vdots \ f_n\left(x, y_1, \ldots y_n\right) \end{array}\right)$$

$$\underline{y}^{\prime}(x)=\left(\begin{array}{c} y_1^{\prime}(x) \ \vdots \ y_n^{\prime}(x) \end{array}\right), \quad \int_a^b \underline{y}(x) d x=\left(\begin{array}{c} \int_a^b y_1(x) d x \ \vdots \ \int_a^b y_n(x) d x \end{array}\right)$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Dependence of solutions on the initial conditions

(4.4)给出的初值问题的表达式表明，对于一个适当的取值范围，微分方程在区间$I$上的解可以看作是$x, x_0$和$\underline{y}_0$的函数。为了说明这个事实，我们把(4.4)的解记为$\underline{y}\left(x, x_0, \underline{y}_0\right)$。这一步引导我们考虑解决方案$\underline{y}$相对于变量$\left(x, x_0, \underline{y}_0\right)$的行为问题。我们有下面的定理。

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