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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Coulomb’s Law

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Coulomb’s Law

The next portion of the effort to establish Maxwell’s equations is Coulomb ‘s law. To that end, let $q(t)$ be the charge of an electric field $\boldsymbol{E}$ over a surface 5 bounded by the smooth, closed, orientable curve $\gamma$. By Gauss’s law, the charge is proportional to the flux of the electric field over the surface. That is,
$$4 \pi q(t)=\operatorname{Flux}(\boldsymbol{E})=\iint_S \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma} .$$
Let $\frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t)$ be the normalized charge density ${ }^2$ of the electric field $\boldsymbol{E}$ over the volume $V$ subtended by the surface $₫$. Coulomb’s law states that the electric charge over the volume $V$ is equal to the integral of the charge density over that volume. Namely,
$$q(t)=\iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V$$
Figure 1.3 illustrates the geometry.

To write the charge as a differential equation, enlist Gauss’s Divergence Theorem.
Gauss’s Divergence Theorem: If, as a function of the spatial variable $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{E} \in C^1(V) \cap C^0(5)$, then for any volume $V$ with boundary the domain $\$$,$$ \iint_{\Sigma} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}=\iiint_V \operatorname{div}(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V . $$Combine equations (1.3.1)-(1.3.2) to obtain 4 \pi \iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iint_\delta \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}. By applying the Divergence Theorem, this equation becomes \iiint_V \frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V for an arbitrary volume V. Equating the integrands yields$$ \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)=\frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) $$## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Ampere’s Law We shall solve the one-dimensional heat equation \frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} for some practical approach, initial conditions, and boundary condition. We assume that two ends x=0 and x=L of the rod are insulated. Therefore, the temperature at two ends x=0 and x=L of the rod is zero. So that, boundary conditions are u(0, t)=0, u(L, t)=0 for all t and the initial temperature in the rod is f(x). We shall determine the solution of the temperature u(x, t) of the heat equation which satisfying initial and boundary conditions. Let us assume, u(x, t)=X(x) T(t) be a solution to the heat equation. Hence, it satisfies the heat equation. Differentiate u(x, t)=X(x) T(t) with respect to x and t$$ \frac{\partial u}{\partial x}=X^{\prime}(x) T(t), \frac{\partial u}{\partial t}=X(x) T^{\prime}(t)  \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=X(x) T^{\prime \prime}(t) $$Substituting above derivatives in \frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ X(x) T^{\prime}(t)=c^2 X^{\prime \prime}(x) T(t) $$separates the variables$$ \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x) .}{X(x)} $$Since x and t are independent variables; therefore, \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} can hold only when each side equal to some constant, say k$$ \begin{gathered} \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \ \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \text { and } \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=k \ \therefore X^{\prime \prime}(x)-k X(x)=0 \text { and } T^{\prime}(t)-k c^2 T(t)=0 \ \therefore D^2 X-k X=0 \text { and } D T-k c^2 T=0 . \end{gathered} $$# 偏微分方程代写 ## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Coulomb’s Law 建立麦克斯韦方程组的下一个部分是库仑定律。为此，设q(t)为电场\boldsymbol{E}在光滑、封闭、可定向曲线\gamma所围成的表面上的电荷。根据高斯定律，电荷与表面上电场的通量成正比。也就是说，$$ 4 \pi q(t)=\operatorname{Flux}(\boldsymbol{E})=\iint_S \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma} . $$设\frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t)为电场\boldsymbol{E}的归一化电荷密度{ }^2除以表面₫所覆盖的体积V。库仑定律说电荷除以体积V等于电荷密度除以体积的积分。即，$$ q(t)=\iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V $$图1.3说明了几何结构。 要把电荷写成微分方程，可以利用高斯散度定理。 高斯散度定理:如果，作为空间变量\boldsymbol{x}, \boldsymbol{E} \in C^1(V) \cap C^0(5)的函数，则对于任何以域\$$为边界的体积$V$， $$\iint_{\Sigma} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}=\iiint_V \operatorname{div}(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V .$$ 结合式(1.3.1)-(1.3.2)可得$4 \pi \iiint_V \frac{1}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iint_\delta \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{\sigma}$。通过应用散度定理，对于任意体积$V$，这个方程变成$\iiint_V \frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t) d V=\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) d V$。等于被积函数 $$\nabla \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t)=\frac{4 \pi}{\varepsilon} \rho(\boldsymbol{x}, t)$$ ## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Ampere’s Law 对于一些实际的方法、初始条件和边界条件，我们将求解一维热方程$\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$。我们假设杆的两端$x=0$和$x=L$是绝缘的。因此，杆的两端$x=0$和$x=L$的温度为零。所以，边界条件是$u(0, t)=0$,$u(L, t)=0$对于所有的$t$棒的初始温度是$f(x)$。 我们将确定满足初始条件和边界条件的热方程的温度$u(x, t)$的解。 假设$u(x, t)=X(x) T(t)$是热方程的解。 因此，它满足热方程。 对$u(x, t)=X(x) T(t)$和$x$求导$t$$$\frac{\partial u}{\partial x}=X^{\prime}(x) T(t), \frac{\partial u}{\partial t}=X(x) T^{\prime}(t)$$ $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=X(x) T^{\prime \prime}(t)$$ 将以上导数代入$\frac{\partial u}{\partial t}=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$$X(x) T^{\prime}(t)=c^2 X^{\prime \prime}(x) T(t)$$ 分离变量 $$\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x) .}{X(x)}$$ 因为$x$和$t$是自变量;因此，$\frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}$只能在每条边都等于某个常数时成立$k\$
$$\begin{gathered} \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \ \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=k \text { and } \frac{T^{\prime}(t)}{c^2 T(t)}=k \ \therefore X^{\prime \prime}(x)-k X(x)=0 \text { and } T^{\prime}(t)-k c^2 T(t)=0 \ \therefore D^2 X-k X=0 \text { and } D T-k c^2 T=0 . \end{gathered}$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。