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数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|An Important Theorem

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数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|An Important Theorem

A necessary and sufiicient condition for the existence and non-degeneracy of all the basic solutions of $A \mathrm{x}=\mathrm{b}$ is that every set of $\mathrm{m}$ columns of the augmented matrix $A b=[A, b]$ is L.I.

Proof. Necessary Condition. First we consider that all the basic solution of $A \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{b}$ exist and are non-degenerate. Therefore, every set of $m$-column vectors of $A$ are L.I. Let $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$. be one set of $m$-column vectors of $A$, then from the given system, we have
$$\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\ldots+\alpha_m x_m=b$$
But $x_1 \neq 0$, since each solution is non-degenerate. Therefore, the vector b can replace $\alpha_1$ in the basis $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$. (By replacement theorem of vectors). Thus the vectors b, $\alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_m$ also form a basis and hence are L.I. In the similar way $\alpha_1, b, \alpha_3, \ldots, \alpha_m$; $\alpha_1 \alpha_2, b, \alpha_4, \ldots \alpha_m$, etc. are L.I.

数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|Sufficient Condition

Thus the vector b with $(m-1)$ vectors of $A$ form a L.I. set. Hence every set of $m$ columns of the augmented matrix $A b=[A, b]$ is L.I.
Sufficient Condition. Here we consider that every set of $m$ columns of the augmented matrix $A b=[A, b]$ is L.I. Obviously every set of $m$-column vectors of $\boldsymbol{A}$ are L.I. which implies that the basic solution is non-degenerate. Consider $\alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_m$ be any $m$-column vectors of $A$ which are L.I. and let $x_1, x_2, \ldots, x_m$ be the corresponding basic solutions.
\begin{aligned} & \therefore x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\ldots+x_m \alpha_m=\mathbf{b} \ & \therefore-1 \mathrm{~b}+x_1 \alpha_1+\dot{x}_2 \alpha_2+\ldots+x_m \alpha_m=0 \end{aligned}
Now if $x_1=0$, then we havc
$$-1 . b+x_2 \alpha_2+\ldots+x_m \alpha_m=0$$
which implies that the vectors $b, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ are L.D. which is a contradiction since we have assumed that every set of $m$ columns (vectors) of the augmented matrix $A b=[A, b]$ is L.I.

数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|An Important Theorem

$$\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\ldots+\alpha_m x_m=b$$

数学代写|线性规划代写Linear Programming代考|Sufficient Condition

\begin{aligned} & \therefore x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\ldots+x_m \alpha_m=\mathbf{b} \ & \therefore-1 \mathrm{~b}+x_1 \alpha_1+\dot{x}_2 \alpha_2+\ldots+x_m \alpha_m=0 \end{aligned}

$$-1 . b+x_2 \alpha_2+\ldots+x_m \alpha_m=0$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。