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# 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Algebraic Method

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## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Algebraic Method

To begin with, let’s rewrite Equation 2.45 in a more suggestive form:
$$\frac{1}{2 m}\left[\hat{p}^2+(m \omega x)^2\right] \psi=E \psi,$$
where $\hat{p} \equiv-i \hbar d / d x$ is the momentum operator. ${ }^{24}$ The basic idea is to factor the Hamiltonian,
$$\hat{H}=\frac{1}{2 m}\left[\hat{p}^2+(m \omega x)^2\right]$$
If these were numbers, it would be easy:
$$u^2+v^2=(i u+v)(-i u+v)$$
Here, however, it’s not quite so simple, because $\hat{p}$ and $x$ are operators, and operators do not, in general, commute ( $x \hat{p}$ is not the same as $\hat{p} x$, as we’ll see in a moment – though you might want to stop right now and think it through for yourself). Still, this does motivate us to examine the quantities
$$\hat{a}{ \pm} \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(\mp i \hat{p}+m \omega x)$$ (the factor in front is just there to make the final results look nicer). Well, what is the product $\hat{a}{-} \hat{a}{+}$? \begin{aligned} \hat{a}{-} \hat{a}_{+} & =\frac{1}{2 \hbar m \omega}(i \hat{p}+m \omega x)(-i \hat{p}+m \omega x) \ & =\frac{1}{2 \hbar m \omega}\left[\hat{p}^2+(m \omega x)^2-i m \omega(x \hat{p}-\hat{p} x)\right] \end{aligned}

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Analytic Method

We return now to the Schrödinger equation for the harmonic oscillator,
$$-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2}+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi=E \psi$$
and solve it directly, by the power series method. Things look a little cleaner if we introduce the dimensionless variable
$$\xi \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x$$
in terms of $\xi$ the Schrödinger equation reads
$$\frac{d^2 \psi}{d \xi^2}=\left(\xi^2-K\right) \psi$$
where $K$ is the energy, in units of $(1 / 2) \hbar \omega$ :
$$K \equiv \frac{2 E}{\hbar \omega}$$
Our problem is to solve Equation 2.73, and in the process obtain the “allowed” values of $K$ (and hence of $E$ ).
To begin with, note that at very large $\xi$ (which is to say, at very large $x$ ), $\xi^2$ completely dominates over the constant $K$, so in this regime
$$\frac{d^2 \psi}{d \xi^2} \approx \xi^2 \psi$$
which has the approximate solution (check it!)
$$\psi(\xi) \approx A e^{-\xi^2 / 2}+B e^{+\xi^2 / 2}$$

## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Algebraic Method


m \压裂{1}{2}\离开[\ p{} ^ 2 +帽子(m \ωx) ^ 2 ] \ψ= E \ψ



\帽子{H} = \压裂{1}{2 m} \离开[\帽子{p} ^ 2 + (m \ωx) ^ 2 ]



U²+v²=(i U +v)(-i U +v)



\hat{a}{\pm} \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(\mp I \hat{p}+m \omega x) (前面的因子只是为了使最终结果看起来更好看)。是什么产品${一}{-}\ \帽子帽子{一}{+}$ ? \开始{对齐}{一}{-}\ \帽子帽子{ }_{+} & =\ 压裂{1}{2ω\百巴m }(我帽子\ p {} + m \ωx)帽子(我\ p {} + m \ωx) \
& = \压裂{1}{2ω\百巴m } \离开[\帽子{p} ^ 2 + (m \ωx) ^ 2 i m \ω(x \ p {} – {p} \帽子帽子x) \正确)



## 物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Analytic Method



• \压裂{\百巴^ 2}{2 m} \压裂{d ^ 2 \ psi} {d x ^ 2} + \压裂{1}{2}m \ω^ 2 x ^ 2 \ψ= E \ psi

用幂级数法直接求解。如果我们引入无量纲变量，事情看起来就更清楚了

\xi \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x

用$\xi$表示，Schrödinger方程如下

\压裂{d ^ 2 \ psi} {d \ xi ^ 2} = \离开(\ xi ^ 2 k ) \ psi

其中$K$为能量，单位为$(1 / 2)\hbar \omega$;

K \equiv \frac{2 E}{\hbar \omega}

我们的问题是求解方程2.73，并在此过程中获得$K$(以及$E$)的“允许”值。
首先,请注意,在非常大的\ xi美元(也就是说,在非常大的x美元),\ξ^ 2美元完全常数K美元占主导地位,所以在这个政权

\frac{d^2 \psi}{d \xi^2} \approx \xi^2 \psi

它有近似解(检查一下!)

(\ \ psi x

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。