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# 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Fundamental Definitions

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Fundamental Definitions

Functions. A function from a set $A$ into a set $B$, denoted $f: A \rightarrow B$, is a relation $f \subset A \times B$ such that:
(i) for every $x \in A$ there exists a $y \in B$ such that $x f y$
(ii) for every $x \in A$ and $y_1, y_2 \in B$, if $x f y_1$ and $x f y_2$, then $y_1=y_2$
In other words, for every $x \in A$ there exists a unique $y \in B$ such that $x f y$. We write:
$$y=f(x)$$
If $f: A \rightarrow B, A$ is called the domain of $f$, denoted dom $f$, and $B$ is called the codomain of $f$. Clearly, a function $f$ from $A$ into $B$ is a relation $R \subset A \times B$ such that for every $(a, b) \in R$, each first component $a$ appears only once. Thus a function may be thought of as a “single-valued relation” since each element in dom $f$ occurs only once in $f$. We also note that dom $f \neq \emptyset$. The element $y \in B$ in $f(x)=y$ is called the image of $x \in A$, or the value of the function at $x$.

The range of a function $f: A \rightarrow B$, denoted $\mathcal{R}(f)$, is the set of elements in $B$ that are images of elements in $A$; i.e., $\mathcal{R}(f)$ is the set of all images of $f$ :
$$\mathcal{R}(f)={f(a): a \in A}$$
$\mathcal{R}(f)$ is also sometimes called the image set.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Direct and Inverse Images

Direct and Inverse Images. The set
$$f(C)={f(a): a \in C \subseteq A}$$
is called the direct image of $C$. Obviously,
$$f(C) \subset \mathcal{R}(f)$$
Likewise, suppose $f: A \rightarrow B$ and $D$ is a subset of $B$. Then the set
$$f^{-1}(D)={a: f(a) \in D}$$
is called the inverse image of $D$ under $f$. Clearly,
$$f^{-1}(D) \subset A$$
i.e., $f^{-1}(D)$ is a subset of the domain of $f$.
These ideas are illustrated symbolically in Fig. 1.9, where the set $G$ denotes the intersection of $\mathcal{R}(f)$ and a subset $D \subset B$. It is clear that $f^{-1}(D)$ consists of those elements in $A$ that have images in $G \subset D$; in other words, not all of $D$ need consist of images of elements of $A$. We now list several properties involving functions. Let $f: X \rightarrow Y, A \subset X, B \subset X, D \subset Y$, and $F \subset Y$. Then the following hold:

1. $f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)$
2. $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$
3. $f^{-1}(D \cup F)=f^{-1}(D) \cup f^{-1}(F)$
4. $f^{-1}(D \cap F)=f^{-1}(D) \cap f^{-1}(F)$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Fundamental Definitions

(i)对于每一个 $x \in A$ 存在一个 $y \in B$ 这样 $x f y$
(ii)对于每一个 $x \in A$ 和 $y_1, y_2 \in B$，如果 $x f y_1$ 和 $x f y_2$那么， $y_1=y_2$

$$y=f(x)$$

$$\mathcal{R}(f)={f(a): a \in A}$$

$\mathcal{R}(f)$ is also sometimes called the image set.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Direct and Inverse Images

$$f(C)={f(a): a \in C \subseteq A}$$

$$f(C) \subset \mathcal{R}(f)$$

$$f^{-1}(D)={a: f(a) \in D}$$

$$f^{-1}(D) \subset A$$

$f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)$

$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$

$f^{-1}(D \cup F)=f^{-1}(D) \cup f^{-1}(F)$

$f^{-1}(D \cap F)=f^{-1}(D) \cap f^{-1}(F)$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。