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数学代写|微积分代写Calculus代考|Finding Absolute Extrema on a Closed Interval

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微积分Calculus 它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互关联,它们利用了无限序列和无限数列收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。17世纪末,牛顿(Isaac Newton)和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)独立开发了无限小数微积分。后来的工作,包括对极限概念的编纂,将这些发展置于更坚实的概念基础上。今天,微积分在科学、工程和社会科学中得到了广泛的应用。

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数学代写|微积分代写Calculus代考|Finding Absolute Extrema on a Closed Interval

数学代写|微积分代写Calculus代考|Finding Absolute Extrema on a Closed Interval

Every function that’s continuous on a closed interval has an absolute maximum and an absolute minimum value in that interval a highest and lowest point – though, as you see in the following example, there can be a tie for highest or lowest value.

A closed interval like $[2,5]$ includes the endpoints 2 and 5. An open interval like $(2,5)$ excludes the endpoints.

Finding the absolute max and min is a snap. All you do is compute the critical numbers of the function in the given interval, determine the height of the function at each critical number, and then figure the height of the function at the two endpoints of the interval. The greatest of this set of heights is the absolute max; and the least is the absolute min. Example: Find the absolute max and min of $h(x)=\cos (2 x)-2 \sin x$ in the closed interval $\left[\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right]$.

  1. Find the critical numbers of $h$ in the open interval $\left(\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right)$.
    $$
    \begin{aligned}
    h(x) & =\cos (2 x)-2 \sin x \
    h^{\prime}(x) & =-\sin (2 x) \cdot 2-2 \cos x \
    0 & =-2 \sin (2 x)-2 \cos x \
    0 & =\sin (2 x)+\cos x \
    0 & =2 \sin x \cos x+\cos x \
    0 & =\cos x(2 \sin x+1)
    \end{aligned}
    $$
    (by the chain rule)
    (now divide both sides by -2 )
    (now use a trig identity)
    (factor out $\cos x$ )
    $$
    \begin{array}{rlrlrl}
    \cos x & =0 & \text { or } & & 2 \sin x+1 & =0 \
    x=\frac{3 \pi}{2} & & \sin x & =-\frac{1}{2} \
    & & x & =\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}
    \end{array}
    $$
    Thus, the zeros of $h^{\prime}$ are $\frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$, and $\frac{11 \pi}{6}$, and because $h^{\prime}$ is defined for all input numbers, this is the complete list of critical numbers.
  2. Compute the function values (the heights) at each critical number.
    $$
    \begin{aligned}
    & h\left(\frac{7 \pi}{6}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{7 \pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right)=0.5-2 \cdot(-0.5)=1.5 \
    & h\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{3 \pi}{2}\right)-2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-1-2 \cdot(-1)=1 \
    & h\left(\frac{11 \pi}{6}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{11 \pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{11 \pi}{6}\right)=0.5-2 \cdot(-0.5)=1.5
    \end{aligned}
    $$
  1. Determine the function values at the endpoints of the interval.
    $$
    \begin{aligned}
    & h\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=-1-2 \cdot 1=-3 \
    & h(2 \pi)=\cos (2 \cdot 2 \pi)-2 \sin (2 \pi)=1-2 \cdot 0=1
    \end{aligned}
    $$
    So, from Steps 2 and 3, you’ve found five heights: 1.5, 1, 1.5, -3 , and 1 . The largest number in this list, 1.5 , is the absolute max; the smallest, -3 , is the absolute min.

The absolute max occurs at two points: $\left(\frac{7 \pi}{6}, 1.5\right)$ and $\left(\frac{11 \pi}{6}, 1.5\right)$. The absolute min occurs at one of the endpoints, $\left(\frac{\pi}{2},-3\right)$. Figure 6-7 shows the graph of $h$.

数学代写|微积分代写Calculus代考|Finding Absolute Extrema over a Function’s Entire Domain

A function’s absolute max and absolute min over its entire domain are the highest and lowest values of the function anywhere it’s defined. A function can have an absolute max or min or both or neither. For example, the parabola $y=x^2$ has an absolute min at the point $(0,0)$ – the bottom of its cup shape – but no absolute max because it goes up forever to the left and the right. You could say that its absolute max is infinity if it weren’t for the fact that infinity is not a number and thus it doesn’t qualify as a maximum (ditto, of course, for negative infinity as a minimum).

The basic idea is this: Either a function will max out somewhere or it will go up forever to infinity. And the same idea applies to a min and going down to negative infinity.

To locate a function’s absolute max and min over its domain, find the height of the function at each of its critical numbers – just like in the previous section, except that here you consider all the critical numbers, not just those in a given interval. The highest of these values is the absolute max unless the function rises to positive infinity somewhere, in which case you say that it has no absolute max. The lowest of these values is the absolute min, unless the function goes down to negative infinity, in which case it has no absolute min.

If a function goes up or down infinitely, it does so at its extreme right or left or at a vertical asymptote. So, your last step (after evaluating all the critical points) is to evaluate $\lim {x \rightarrow x} f(x)$ and $\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)$ – the so-called end behavior of the function – and the limit of the function as $x$ approaches each vertical asymptote from the left and from the right. If any of these limits equals positive infinity, then the function has no absolute max; if none equals positive infinity, then the absolute max is the function value at the highest of the critical points. And if any of these limits is negative infinity, then the function has no absolute min; if none of them equals negative infinity, then the absolute min is the function value at the lowest of the critical points.

Figure 6-8 shows a couple functions where the above method won’t work. The function $f(x)$ has no absolute max despite the fact that it doesn’t go up to infinity. Its max isn’t 4 because it never gets to 4, and its max can’t be anything less than 4, like 3.999, because it gets higher than that, say 3.9999. The function $g(x)$ has no absolute min despite the fact that it doesn’t go down to negative infinity. Going left, $g(x)$ crawls along the horizontal asymptote at $y=0$. $g$ gets lower and lower, but it never gets as low as zero, so neither zero nor any other number can be the absolute min.

数学代写|微积分代写Calculus代考|Finding Absolute Extrema on a Closed Interval

微积分代写

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在封闭区间上连续的每个函数都有一个绝对最大值和一个绝对最小值,在该区间内有一个最高点和最低点——不过,正如您在下面的例子中看到的,最大值和最低点可能是相等的。

像$[2,5]$这样的封闭区间包括端点2和5。像$(2,5)$这样的开放间隔排除端点。

找到绝对最大值和最小值很容易。你所要做的就是计算函数在给定区间内的临界数,确定函数在每个临界数处的高度,然后计算函数在区间两端的高度。这组高度中最大的是绝对最大值;例:在封闭区间$\left[\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right]$中求$h(x)=\cos (2 x)-2 \sin x$的绝对最大值和最小值。

在开放区间$\left(\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right)$中找到$h$的临界数。
$$
\begin{aligned}
h(x) & =\cos (2 x)-2 \sin x \
h^{\prime}(x) & =-\sin (2 x) \cdot 2-2 \cos x \
0 & =-2 \sin (2 x)-2 \cos x \
0 & =\sin (2 x)+\cos x \
0 & =2 \sin x \cos x+\cos x \
0 & =\cos x(2 \sin x+1)
\end{aligned}
$$
(根据链式法则)
(现在两边同时除以-2)
(现在用三角恒等式)
(提出$\cos x$)
$$
\begin{array}{rlrlrl}
\cos x & =0 & \text { or } & & 2 \sin x+1 & =0 \
x=\frac{3 \pi}{2} & & \sin x & =-\frac{1}{2} \
& & x & =\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}
\end{array}
$$
因此,$h^{\prime}$的零是$\frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$和$\frac{11 \pi}{6}$,因为$h^{\prime}$是为所有输入数字定义的,所以这是关键数字的完整列表。

计算每个关键数字处的函数值(高度)。
$$
\begin{aligned}
& h\left(\frac{7 \pi}{6}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{7 \pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right)=0.5-2 \cdot(-0.5)=1.5 \
& h\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{3 \pi}{2}\right)-2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-1-2 \cdot(-1)=1 \
& h\left(\frac{11 \pi}{6}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{11 \pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{11 \pi}{6}\right)=0.5-2 \cdot(-0.5)=1.5
\end{aligned}
$$

确定区间端点处的函数值。
$$
\begin{aligned}
& h\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=-1-2 \cdot 1=-3 \
& h(2 \pi)=\cos (2 \cdot 2 \pi)-2 \sin (2 \pi)=1-2 \cdot 0=1
\end{aligned}
$$
因此,从步骤2和3中,你已经找到了五个高度:1.5,1,1.5,-3和1。这个列表中最大的数字是1.5,这是绝对最大值;最小值-3是绝对最小值。

绝对最大值出现在两点:$\left(\frac{7 \pi}{6}, 1.5\right)$和$\left(\frac{11 \pi}{6}, 1.5\right)$。绝对最小值出现在端点之一$\left(\frac{\pi}{2},-3\right)$。$h$的示意图如图6-7所示。

数学代写|微积分代写Calculus代考|Finding Absolute Extrema over a Function’s Entire Domain

函数在整个定义域内的绝对最大值和绝对最小值是函数在其定义处的最大值和最小值。一个函数可以有绝对最大值或最小值,或者两者都有,或者两者都没有。例如,抛物线$y=x^2$在$(0,0)$点有一个绝对的最小值——它的杯形的底部——但没有绝对的最大值,因为它永远向左和向右上升。你可以说,它的绝对最大值是无穷大,如果不是因为无穷大不是一个数字,因此它不能作为最大值(同理,当然,对于负无穷大作为最小值)。

基本思想是这样的:一个函数要么在某个地方达到最大值,要么永远上升到无穷大。同样的道理也适用于最小值直到负无穷。

要确定函数在其定义域上的绝对最大值和最小值,请找到函数在其每个临界值处的高度——就像前一节一样,只是这里要考虑所有的临界值,而不仅仅是给定区间内的那些。这些值中的最大值是绝对最大值,除非函数在某处上升到正无穷,在这种情况下,你可以说它没有绝对最大值。这些值中的最小值是绝对最小值,除非函数趋于负无穷,在这种情况下,它没有绝对最小值。

如果一个函数无限向上或向下,它是在极右或极左处,或在垂直渐近线处。因此,您的最后一步(在评估了所有的临界点之后)是评估$\lim {x \rightarrow x} f(x)$和$\lim {x \rightarrow-\infty} f(x)$——所谓的函数的结束行为——以及当$x$从左和从右接近每个垂直渐近线时函数的极限。如果这些极限中的任何一个等于正无穷,那么函数没有绝对最大值;如果没有一个等于正无穷,则绝对最大值是在临界点最高处的函数值。如果这些极限中的任何一个是负无穷,那么这个函数就没有绝对最小值;如果它们都不等于负无穷

数学代写|微积分代写Calculus 代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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