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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|THE FIELD OF COMPLEX NUMBERS

如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数,也叫抽象代数,是数学的一个分支,涉及各种集合(如实数、复数、矩阵和矢量空间)的一般代数结构,而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展,现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算,可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称,但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下,现代代数处理的是特殊类别的代数,包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看,场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数,但这两个名字在今天都有误导性,因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|THE FIELD OF COMPLEX NUMBERS

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There is no real number $x$ such that $x^2=-1$, because the square of any nonzero element in an ordered integral domain must be positive (Lemma 28.1). The field of complex numbers, which contains the field of real numbers as a subfield, overcomes this deficiency. It does much more than that, in fact, as can be seen from the following theorem.

Theorem 32.1 (Fundamental Theorem of Algebra). Every polynomial equation
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=0
$$
which is of degree at least 1 and whose coefficients $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ are complex numbers, has at least one solution in the field of complex numbers.

Notice the implications of this theorem. To have solutions for all equations $a x=b$ (coefficients integers), we extended the integers to the rational numbers. To have a solution for $x^2=2$, we went outside the rational numbers to the real numbers. To have a solution for $x^2=-1$, we are extending the real numbers to the complex numbers. The Fundamental Theorem of Algebra asserts that in looking for soiutions to polynomial equations there will be no need to extend further, because any such equation with complex numbers as coefficients will have a solution in the field of complex numbers. We shall not prove the Fundamental Theorem of Algebra, but we say more about polynomial equations in Chapters $\mathrm{X}$ and XI.

We now give a description of the complex numbers. The rational numbers were constructed using equivalence classes of ordered pairs of integers. The complex numbers will be constructed using ordered pairs of real numbers. Problem 32.18 suggests how they could be constructed using matrices, if one preferred. Suggestion: After studying the statement of Theorem 32.2, pass over the proof and read through Example 32.2; then return to the proof. This should make the operations in the theorem seem more natural.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|COMPLEX ROOTS OF UNITY

The other sections of this chapter have been concerned primarily with general properties and abstractions. This section has to do with computation. We look at some useful ways to represent complex numbers and show how they can be used to determine the complex roots of unity-the solutions of equations of the form $x^n=1$. These roots of unity are useful for examples; they also arise often enough in other areas of mathematics to make their inclusion here worthwhile.

Just as the points on a line can be used to represent real numbers geometrically, the points in a plane can be used to represent complex numbers geometrically. A rectangular coordinate system is chosen for the plane, and then each complex number $a+b i$ is represented by the point with coordinates $(a, b)$. Because
$$
a+b i=c+d i \quad \text { iff } a=c \quad \text { and } \quad b=d
$$

(for $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ ), the correspondence
$$
a+b i \leftrightarrow(a, b)
$$
is one-to-one between complex numbers and points of the plane. Figure 33.1 shows some examples.

Addition of complex numbers corresponds to vector addition of points in the plane:
$$
(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i \leftrightarrow(a+c, b+d)=(a, b)+(c, d) .
$$
To describe muitiplication of complex numbers geometrically, we turn to polar coordinates. Recall that the polar representation of a point with rectangular coordinates $(a, b)$ is $(r, \theta)$, where $r$ denotes the distance between the origin and the given point, and $\theta$ denotes the angle from the positive $x$-axis to the ray from the origin through the given point, with the positive direction taken counterclockwise (Figure 33.2).

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现代代数代写

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没有实数$x$使得$x^2=-1$,因为在有序积分域中任何非零元素的平方必须是正的(引理28.1)。复数域,它包含实数域作为子域,克服了这一缺陷。事实上,从下面的定理可以看出,它的作用远不止于此。

定理32.1(代数基本定理)。每个多项式方程
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=0
$$
它的度数至少为1,其系数$a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$是复数,在复数域中至少有一个解。

注意这个定理的含义。得到所有方程的解 $a x=b$ (系数整数),我们把整数推广到有理数。有一个解决方案 $x^2=2$从有理数到实数。有一个解决方案 $x^2=-1$,我们把实数推广到复数。代数基本定理断言,在寻找多项式方程的解时,不需要进一步扩展,因为任何以复数为系数的方程在复数域中都有解。我们将不证明代数基本定理,但我们将在章节中更多地讨论多项式方程 $\mathrm{X}$ 十一。

我们现在给出复数的描述。利用有序整数对的等价类构造有理数。复数将使用实数的有序对来构造。问题32.18告诉我们,如果愿意的话,如何用矩阵来构造它们。建议:学习完定理32.2的表述后,跳过证明,通读例32.2;然后回到证明。这应该会使定理中的运算看起来更自然。

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本章的其他部分主要关注一般属性和抽象。这一部分与计算有关。我们将介绍一些表示复数的有用方法,并展示如何使用它们来确定单位的复根,即$x^n=1$形式的方程的解。这些统一的根是有用的例子;它们在数学的其他领域也经常出现,因此在此包含它们是值得的。

正如直线上的点可以用几何方法表示实数一样,平面上的点也可以用几何方法表示复数。为平面选择一个直角坐标系,然后用坐标为$(a, b)$的点表示每个复数$a+b i$。因为
$$
a+b i=c+d i \quad \text { iff } a=c \quad \text { and } \quad b=d
$$

(网址:$a, b, c, d \in \mathbb{R}$),信件
$$
a+b i \leftrightarrow(a, b)
$$
复数与平面上的点是一一对应的。图33.1显示了一些示例。

复数的加法对应于平面上点的向量加法:
$$
(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i \leftrightarrow(a+c, b+d)=(a, b)+(c, d) .
$$
为了从几何上描述复数的乘法,我们求助于极坐标。回想一下,直角坐标$(a, b)$的点的极坐标表示为$(r, \theta)$,其中$r$表示原点与给定点之间的距离,$\theta$表示正$x$轴与从原点经过给定点的射线之间的夹角,正方向为逆时针(图33.2)。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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