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数学代写|数论代写Number Theory代考|Christmas Day, 1640

如果你也在 怎样代写数论Number theory 个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。

数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。

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Bachet’s translation of Diophantus opened a new mathematical world for Fermat, and he spent the rest of his life exploring it. In this chapter we will look at several discoveries that Fermat made within the pages of the Arithmetica, but we begin with a topic that was central in the work of Diophantus: sums of squares.

Pierre de Fermat was one of the greatest mathematicians of all time, yet by today’s standards he was not a working mathematician; in his day such a concept did not even exist, though he might have considered himself a “geometer.” Fermat’s professional career was as a jurist at the High Court in Toulouse and at a nearby court in Castres.

In spite of this full-time job, Fermat did much of the groundbreaking work on tangents and on maxima and minima problems that would lead to the discovery of calculus by Newton and Leibniz later in the seventeenth century. He also made equally important contributions to physics, such as his discovery of the principle of least time, which says that light travels between two points by a path that minimizes the amount of time taken to travel between the two points. This principle, in turn, implies the familiar laws of reflection and refraction for light. Sadly, however, Fermat published almost nothing about his many results during his lifetime.

What we know of the work of Fermat we know only because of two people, his son Clémont-Samuel, and a French friar who lived in a monastery in Paris. After Fermat’s death in 1665 his son spent five years editing his father’s papers before publishing his work in two volumes in 1669 and 1670, the latter being an edition of the Arithmetica by Diophantus that included forty-eight of the marginal notes made by his father in his original copy of Bachet’s translation. This is why we know today of Fermat’s most famous marginal note: “I have a truly marvelous proof of this proposition which this margin is too narrow to contain.” His son included this observation in this 1670 edition.

Marin Mersenne was a French friar living in Paris during the first half of the seventeenth century. More important, he was also the center of a vast network of scientists and mathematicians spread throughout Europe. Much of the excitement and intellectual vigor of that period was due to the correspondence that took place among this circle of friends-many of whom never met; Fermat, for example, simply did not travel. Many of the letters that document this correspondence still exist today, letters written to one another by a truly remarkable group of men that included Mersenne, Descartes, Fermat, Desargues, Pascal, and Roberval. From these letters we have learned much about what Fermat knew, and when he knew it.

数学代写|数论代写Number Theory代考|Fermat’s Little Theorem

In this section, we will discuss the theorem that is known as Fermat’s little theorem in order to distinguish it from his “big” theorem-that is, Fermat’s last theorem. He discovered this theorem as a result of trying to factor numbers such as $2^{37}-1$. We will explain why he was interested in doing such a thing later, but for now just imagine how difficult this was. These days, we can factor $2^{37}-1=137438953471$ in the blink of an eye using a computer, and even a hand calculator can do it in a second or two, but in Fermat’s day this was a challenging problem to say the least. Perhaps 137438953471 is prime.

Here is how Fermat factored this large number once he discovered his “little” theorem. This theorem told him that if a prime $p$ divides $2^{37}-1$, then 37 must divide $p-1$. In other words, $p-1=37 n$, that is, $p=37 n+1$. But $p$ is an odd prime, which means that $p=$ $37(2 k)+1=74 k+1$. So now Fermat just tries all primes of the form $74 k+1$ to see whether they divide 137438953471 ; that is, he tries a list of possible prime divisors: $149,223,593, \ldots$, which is a far, far better strategy than simply trying all primes $2,3,5,7,11,13, \ldots$.

In this case, Fermat quickly discovered that $149 \times 137438953471$, but that 223|137438953471, since $137438953471=223$. 616318117 . Of course, Fermat was quite fortunate he found a divisor so early in this list (we will learn later that there could have been at most only about 780 primes on the list for him to check in any event). We will come back to why Fermat was interested in numbers such as $2^{37}-1$ in a moment, but let’s see how it led him to his theorem.

Fermat explained the idea in a letter to Bernard Frénicle de Bessy in 1640 using a geometric progression
$3, \quad 3^2=9, \quad 3^3=27, \quad 3^4=81, \quad 3^5=243, \quad 3^6=729, \ldots$,
where he takes as an example the prime number 13 , and says that 13 divides $27-1$, and then points out two things:
First, that the exponent for $27=3^3$ is 3 , and 3 divides 12 , which is $13-1$
Second, he points out that the next place in the progression where this happens is at 729 , because the exponent of $729=3^6$ is 6 , which is the next multiple of the exponent 3 .

数学代写|数论代写Number Theory代考|Christmas Day, 1640

数论代写

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巴切特对丢番图的翻译为费马打开了一个新的数学世界,费马用他的余生来探索这个世界。在这一章中,我们将看看费马在《算术》中所做的几个发现,但我们从丢番图工作的中心主题开始:平方和。

皮埃尔·德·费马是有史以来最伟大的数学家之一,但以今天的标准来看,他并不是一位在职数学家;在他的时代,这样的概念甚至不存在,尽管他可能认为自己是一个“几何学家”。费马的职业生涯是在图卢兹高等法院和附近卡斯泰尔法院担任法学家。

尽管有这份全职工作,费马在切线和极大极小问题上做了很多开创性的工作,这些工作后来导致了17世纪牛顿和莱布尼茨发现微积分。他还对物理学做出了同样重要的贡献,比如他发现了最小时间原理,该原理认为光在两点之间传播的路径使两点之间传播所需的时间最小化。这个原理反过来又暗示了我们熟悉的光的反射和折射定律。然而,令人遗憾的是,费马在他的一生中几乎没有发表任何关于他的许多结果的文章。

我们所知道的费马的工作,只是因为有两个人,他的儿子克莱姆蒙特塞缪尔,和一个住在巴黎修道院的法国修士。1665年费马去世后,他的儿子花了五年时间编辑他父亲的论文,然后在1669年和1670年出版了两卷本的作品,后者是丢番图的《算术》,其中包括他父亲在巴切特翻译的原版中做的48个边注。这就是为什么我们今天知道费马最著名的边注:“我对这个命题有一个真正不可思议的证明,而这个边注太窄了。”他的儿子在1670年的版本中收录了这一评论。

马林·梅森是十七世纪上半叶住在巴黎的法国修士。更重要的是,他还是遍布欧洲的科学家和数学家组成的庞大网络的中心。那一时期的兴奋和智力活力在很大程度上要归功于这个朋友圈的通信——他们中的许多人从未见过面;例如,费马根本就没有旅行。许多记录这种通信的信件今天仍然存在,这些信件是由一群真正杰出的人写给彼此的,这些人包括梅森、笛卡尔、费马、德萨格斯、帕斯卡和罗伯瓦尔。从这些信件中,我们了解到费马知道些什么,以及他什么时候知道的。

数学代写|数论代写Number Theory代考|Fermat’s Little Theorem

在本节中,我们将讨论被称为费马小定理的定理,以区别于他的“大”定理——费马最后定理。他是在尝试分解诸如$2^{37}-1$这样的数字时发现这个定理的。我们稍后会解释他为什么有兴趣做这样的事情,但现在想象一下这有多困难。现在,我们可以用计算机在一眨眼的时间内分解$2^{37}-1=137438953471$,甚至一个手持计算器也可以在一两秒钟内完成,但在费马的时代,这至少可以说是一个具有挑战性的问题。也许137438953471是质数。

下面是费马发现他的“小”定理后如何分解这个大数的。这个定理告诉他,如果一个素数p能整除2^{37}-1$,那么37一定能整除p-1$。也就是说,$p-1= 37n $,即$p= 37n +1$。但p是奇素数,也就是说p= 37(2k)+1=74 k+1。现在费马试了所有形式为74k +1的质数看它们是否能除137438953471;也就是说,他尝试了一系列可能的质因数:$149,223,593,\ldots$,这比简单地尝试所有质数$2,3,5,7,11,13,\ldots$要好得多。

在这种情况下,费马很快发现$149 \乘以137438953471$,但223|137438953471,因为$137438953471=223$。616318117。当然,费马很幸运,他在这个列表中很早就发现了一个约数(我们稍后会知道,在任何情况下,他最多只能在列表中检查大约780个素数)。我们一会儿会回到为什么费马对2^{37}-1$这样的数字感兴趣,但让我们看看它是如何引导他得出他的定理的。

费马在1640年写给伯纳德·弗莱姆尼科尔·德·贝西的信中用几何级数解释了这个想法
3美元,\四3 ^ 2 = 9,\四3 ^ 3 = 27日\四3 ^ 4 = 81,\四3 ^ 5 = 243,\四3 ^ 6 = 729,\ ldots $,
他以质数13为例,说13能除27-1,然后指出两件事
首先,27美元=3^3的指数是3,3除12,也就是13-1
其次,他指出,在数列中发生这种情况的下一个位置是729,因为729=3^6$的指数是6,这是指数3的下一个倍数。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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