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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Conditional independence; Markov property

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Conditional independence; Markov property

In this chapter we adopt the notation $N$ for the set of strictly positive integers, and $N^0$ for the set of positive integers; used as an index set, each is endowed with the natural ordering and interpreted as a discrete time parameter. Similarly, for each $n \in N, N$ denotes the ordered set of integers from 1 to $n$ (both inclusive); $N_n^0$ that of integers from 0 to $n$ (both inclusive); and $N_n^{\prime}$ that of integers beginning with $n+1$.

On the probability triple $(\Omega, \mathscr{F}, \mathscr{P})$, a sequence $\left{X_n, n \in N\right}$ where each $X_n$ is an r.v. (defined on $\Omega$ and finite a.e.), will be called a (discrete parameter) stochastic process. Various Borel fields connected with such a process will now be introduced. For any sub-B.F. $\mathscr{G}$ of $\bar{H}$, we shall write
$$X \in G$$
and use the expression ” $X$ belongs to $\mathscr{G}$ ” or ” $G$ contains $X$ ” to mean that $X^{-1}(\bar{B}) \subset \mathscr{G}$ (see Sec. 3.1 for notation): in the customary language $X$ is said as follows:

$=$ the augmented B.F. generated by the family of r.v.’s $\left{X_k, k \in N_n\right}$; that is, $\bar{F}_n$ is the smallest B.F.G containing all $X_k$ in the family and all null sets;
$=$ the augmented B.F. generated by the family of r.v.’s $\left{X_k, k \in N_n^{\prime}\right}$.

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Inequalities and convergence

We begin with two inequalities, the first of which is a generalization of Kolmogorov’s inequality (Theorem 5.3.1).

Theorem 9.4.1. If $\left{X_j, \mathscr{F}j, j \in N_n\right}$ is a submartingale, then for each real $\lambda$. we have $$\lambda \mathscr{P}\left{\max {1 \leq j \leq n} X_j \geq \lambda\right} \leq \int_{\left{\max {1 \leq j \leq n} X_j \geq \lambda\right}} X_n d \mathscr{P} \leq \mathscr{E}\left(X_n^{+}\right)$$ \begin{aligned} \lambda \mathscr{P}\left{\min {1 \leq j \leq n} X_j \leq-\lambda\right} & \leq \mathscr{E}\left(X_n-X_1\right)-\int_{\left{\min _{1 \leq i \leq n} X_j \leq-\lambda\right}} X_n d \mathscr{P} \ & \leq \mathscr{E}\left(X_n^{+}\right)-\mathscr{E}\left(X_1\right) . \end{aligned}
PROOF. Let $\alpha$ be the first $j$ such that $X_j \geq \lambda$ if there is such a $j$ in $N_n$, otherwise let $\alpha=n$ (optional stopping at $n$ ). It is clear that $\alpha$ is optional;

since it takes only a finite number of values, Theorem 9.3.4 shows that the pair $\left{X_\alpha, X_n\right}$ forms a submartingale. If we write
$$\mathrm{M}=\left{\max {1 \leq j \leq n} X_j \geq \lambda\right}$$ then $\mathrm{M} \in \mathscr{F}\alpha$ (why?) and $X_\alpha \geq \lambda$ on $\mathrm{M}$, hence the first inequality follows from
$$\lambda \mathscr{P}(\mathrm{M}) \leq \int_{\mathrm{M}} X_\alpha d \mathscr{P} \leq \int_{\mathrm{M}} X_n d \mathscr{P} ;$$
the second is just a cruder consequence.
Similarly let $\beta$ be the first $j$ such that $X_j \leq-\lambda$ if there is such a $j$ in $N_n$, otherwise let $\beta=n$. Put also
$$\mathrm{M}k=\left{\min {1 \leq j \leq k} X_j \leq-\lambda\right}$$

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Conditional independence; Markov property

$$X \in G$$

$=$ 由r.v.家族产生的增广B.F.。’s $\left{X_k, k \in N_n\right}$;即$\bar{F}_n$是包含族中所有$X_k$和所有空集的最小B.F.G;
$=$由r.v.家族产生的增强B.F.。网址是$\left{X_k, k \in N_n^{\prime}\right}$。

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Inequalities and convergence

$$\mathrm{M}=\left{\max {1 \leq j \leq n} X_j \geq \lambda\right}$$然后$\mathrm{M} \in \mathscr{F}\alpha$(为什么?)和$X_\alpha \geq \lambda$在$\mathrm{M}$，因此第一个不等式从
$$\lambda \mathscr{P}(\mathrm{M}) \leq \int_{\mathrm{M}} X_\alpha d \mathscr{P} \leq \int_{\mathrm{M}} X_n d \mathscr{P} ;$$

$$\mathrm{M}k=\left{\min {1 \leq j \leq k} X_j \leq-\lambda\right}$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。