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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Liapounov’s theorem

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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Liapounov’s theorem

The name “central limit theorem” refers to a result that asserts the convergence in dist. of a “normed” sum of r.v.’s, $\left(S_n-a_n\right) / b_n$, to the unit normal d.f. $\Phi$. We have already proved a neat, though special, version in Theorem 6.4.4. Here we hegin by generalizing the set-up. If we write
$$\frac{S_n-a_n}{b_n}=\left(\sum_{j=1}^n \frac{X_j}{b_n}\right)-\frac{a_n}{b_n},$$
we see that we are really dealing with a double array, as follows. For each $n \geq 1$ let there be $k_n$ r.v.’s $\left{X_{n j}, 1 \leq j \leq k_n\right}$, where $k_n \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$ :
\begin{aligned} & X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{1 k_1} \ & X_{21}, X_{22}, \ldots, X_{2 k_2} \ & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ & X_{n 1}, X_{n 2}, \ldots, X_{n k_n} \ & \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Lindeberg-Feller theorem

We can now state the Lindeberg-Feller theorem for the double array (2) of Sec. 7.1 (with independence in each row).

Theorem 7.2.1. Assume $\sigma_{n j}^2<\infty$ for each $n$ and $j$ and the reduction hypotheses (4) and (5) of Sec. 7.1. In order that as $n \rightarrow \infty$ the two conclusions below both hold:

(i) $S_n$ converges in dist. to $\Phi$,
(ii) the double array (2) of Sec. 7.1 is holospoudic;
it is necessary and sufficient that for each $\eta>0$, we have
$$\sum_{j=1}^{k_n} \int_{|x|>\eta} x^2 d F_{n j}(x) \rightarrow 0$$
The condition (1) is called Lindeberg’s condition; it is manifestly equivalent to
$$\sum_{j=1}^{k_n} \int_{|x| \leq \eta} x^2 d F_{n j}(x) \rightarrow 1$$
PROOF. Sufficiency. By the argument that leads to Chebyshev’s inequality, we have
$$\mathscr{P}\left{\left|X_{n j}\right|>\eta\right} \leq \frac{1}{\eta^2} \int_{|x|>\eta} x^2 d F_{n j}(x)$$

概率论代写

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Liapounov’s theorem

“中心极限定理”这个名字指的是一个结论，它断言r.v.的“赋范”和在分区中是收敛的， $\left(S_n-a_n\right) / b_n$，到单位正常d.f。 $\Phi$． 我们已经在定理6.4.4中证明了一个简洁但特殊的版本。在这里，我们从概括这个设置开始。如果我们写
$$\frac{S_n-a_n}{b_n}=\left(\sum_{j=1}^n \frac{X_j}{b_n}\right)-\frac{a_n}{b_n},$$

\begin{aligned} & X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{1 k_1} \ & X_{21}, X_{22}, \ldots, X_{2 k_2} \ & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ & X_{n 1}, X_{n 2}, \ldots, X_{n k_n} \ & \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}

数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Lindeberg-Feller theorem

(i) $S_n$在地区收敛于$\Phi$，
(ii)第7.1节的双阵列(2)是全声速的;

$$\sum_{j=1}^{k_n} \int_{|x|>\eta} x^2 d F_{n j}(x) \rightarrow 0$$

$$\sum_{j=1}^{k_n} \int_{|x| \leq \eta} x^2 d F_{n j}(x) \rightarrow 1$$

$$\mathscr{P}\left{\left|X_{n j}\right|>\eta\right} \leq \frac{1}{\eta^2} \int_{|x|>\eta} x^2 d F_{n j}(x)$$

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MATLAB代写

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