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# 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|The Exponential Distribution

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## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|The Exponential Distribution

This very popular one-parameter distribution is defined by its SDF to be
$$S(t)=e^{-\lambda t}, t \geq 0, \lambda \geq 0$$
It then follows that the PDF is
$$f(t)=-\frac{d}{d t} S(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$
so that the HRF is
$$\lambda(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=\lambda$$
a constant. In the actuarial context, where the hazard rate is generally called the force of mortality, the exponential distribution is referred to as the constant force distribution.

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|The Gompertz Distribution

This distribution was suggested as a model for human survival by Gompertz [33] in 1825. The distribution is usually defined by its hazard rate as
$$\lambda(x)=B c^x, x \geq 0, B>0, c>1 .$$
Then the SDF is given by
$$S(x)=\exp \left[-\int_0^x \lambda(y) d y\right]=\exp \left[\frac{B}{\ln c}\left(1-c^x\right)\right] .$$
The PDF is given by $\lambda(x) \cdot S(x)$, and is clearly not a very convenient mathematical form. In particular, the mean of the distribution, $E[X]$, is not easily found.

In 1860 Makeham [53] modified the Gompertz distribution by taking the HRF to be
$$\lambda(x)=A+B c^x, x \geq 0, B>0, c>1, A>-B .$$
Makeham was suggesting that part of the hazard at any age is independent of the age itself, so a constant was added to the Gompertz hazard rate.
The SDF for this distribution is given by
$$S(x)=\exp \left[-\int_0^x\left(A+B c^y\right) d y\right]=\exp \left[\frac{B}{\ln c}\left(1-c^x\right)-A x\right] .$$
Again it is clear that the PDF for this distribution is not mathematically tractable, so the calculation of probabilities, moments, or other quantities is somewhat difficult.

# 生存模型代考

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|The Exponential Distribution

$$S(t)=e^{-\lambda t}, t \geq 0, \lambda \geq 0$$

$$f(t)=-\frac{d}{d t} S(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$

$$\lambda(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=\lambda$$

## 统计代写|生存模型代考Survival Models代写|The Gompertz Distribution

Gompertz[33]在1825年提出了这种分布作为人类生存的模型。该分布通常由其风险率定义为
$$\lambda(x)=B c^x, x \geq 0, B>0, c>1 .$$

$$S(x)=\exp \left[-\int_0^x \lambda(y) d y\right]=\exp \left[\frac{B}{\ln c}\left(1-c^x\right)\right] .$$
PDF由$\lambda(x) \cdot S(x)$给出，显然不是一种非常方便的数学形式。特别是，分布的平均值$E[X]$不容易找到。

1860年Makeham[53]修正了Gompertz分布，取HRF为
$$\lambda(x)=A+B c^x, x \geq 0, B>0, c>1, A>-B .$$
Makeham认为，任何年龄的风险都有一部分与年龄本身无关，所以在Gompertz风险率中加入了一个常数。

$$S(x)=\exp \left[-\int_0^x\left(A+B c^y\right) d y\right]=\exp \left[\frac{B}{\ln c}\left(1-c^x\right)-A x\right] .$$

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