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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization

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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用,如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计(最佳实验设计)、和结构优化,其中近似概念被证明是有效的。

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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization with functional constraints

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization

Let us demonstrate how we can use the models for solving constrained minimization problems. Consider the problem
$$
\begin{array}{ll}
& \min f(x), \
\text { s.t. } & f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m, \
& x \in Q,
\end{array}
$$
where $Q$ is a bounded closed convex set, and functions $f(x), f_j(x)$ are Lipschitz continuous on $Q$.

Let us rewrite this problem as a problem with a single functional constraint. Denote $\bar{f}(x)=\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)$. Then we obtain the equivalent problem $$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & \bar{f}(x) \leq 0, \ & x \in Q . \end{array} $$ Note that $f(x)$ and $\bar{f}(x)$ are convex and Lipschitz continuous. In this section we will try to solve (3.3.5) using the models for both of them. Let us define the corresponding models. Consider a sequence $X=$ $\left{x_k\right}{k=0}^{\infty}$. Denote
$$
\begin{gathered}
\hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \
\check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x),
\end{gathered}
$$
where $g\left(x_j\right) \in \partial f\left(x_j\right)$ and $\bar{g}\left(x_j\right) \in \partial \bar{f}\left(x_j\right)$.

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Black box concept in convex optimization

In this chapter we are going to present the main ideas underlying the modern polynomial-time interior-point methods in nonlinear optimization. In order to start, let us look first at the traditional formulation of a minimization problem.

Suppose we want to solve a minimization problem in the following form:
$$
\min _{x \in R^n}\left{f_0(x) \mid f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m\right} .
$$
We assume that the functional components of this problem are convex. Note that all standard convex optimization schemes for solving this problem are based on the black-box concept. This means that we assume our problem to be equipped with an oracle, which provides us with some information on the functional components of the problem at some test point $x$. This oracle is local: If we change the shape of a component far enough from the test point, the answer of the oracle does not change. These answers comprise the only information available for numerical methods. ${ }^1$

However, if we look carefully at the above situation, we can see a certain contradiction. Indeed, in order to apply the convex optimization methods, we need to be sure that our functional components are convex. However, we can check convexity only by analyzing the structure of these functions ${ }^2$ : If our function is obtained from the basic convex functions by convex operations (summation, maximum, etc.), we conclude that it is convex.

Thus, the functional components of the problem are not in a black box at the moment we check their convexity and choose a minimization scheme. But we put them in a black box for numerical methods. That is the main conceptual contradiction of the standard convex optimization theory. $^3$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Minimization with functional constraints

凸优化代写

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Constrained minimization

让我们演示如何使用模型来解决约束最小化问题。考虑这个问题
$$
\begin{array}{ll}
& \min f(x), \
\text { s.t. } & f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m, \
& x \in Q,
\end{array}
$$
其中$Q$是有界闭凸集,函数$f(x), f_j(x)$在$Q$上是Lipschitz连续的。

我们把这个问题改写成一个有单一函数约束的问题。表示$\bar{f}(x)=\max {1 \leq j \leq m} f_j(x)$。然后我们得到等价问题$$ \begin{array}{ll} & \min f(x), \ \text { s.t. } & \bar{f}(x) \leq 0, \ & x \in Q . \end{array} $$注意$f(x)$和$\bar{f}(x)$是凸的,并且是Lipschitz连续的。在本节中,我们将尝试使用这两个模型来解决(3.3.5)。让我们定义相应的模型。考虑一个序列$X=$$\left{x_k\right}{k=0}^{\infty}$。表示
$$
\begin{gathered}
\hat{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[f\left(x_j\right)+\left\langle g\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq f(x), \
\check{f}k(X ; x)=\max {0 \leq j \leq k}\left[\bar{f}\left(x_j\right)+\left\langle\bar{g}\left(x_j\right), x-x_j\right\rangle\right] \leq \bar{f}(x),
\end{gathered}
$$
其中$g\left(x_j\right) \in \partial f\left(x_j\right)$和$\bar{g}\left(x_j\right) \in \partial \bar{f}\left(x_j\right)$。

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Black box concept in convex optimization

在本章中,我们将介绍非线性优化中现代多项式时间内点方法的主要思想。为了开始,让我们先看看最小化问题的传统表述。

假设我们要以以下形式解决最小化问题:
$$
\min _{x \in R^n}\left{f_0(x) \mid f_j(x) \leq 0, j=1 \ldots m\right} .
$$
我们假设这个问题的函数分量是凸的。注意,解决这个问题的所有标准凸优化方案都是基于黑盒概念的。这意味着我们假设我们的问题配备了一个oracle,它在某个测试点$x$为我们提供了关于问题的功能组件的一些信息。这个oracle是本地的:如果我们在离测试点足够远的地方改变组件的形状,oracle的答案不会改变。这些答案包含了数值方法可用的唯一信息。 ${ }^1$

然而,如果我们仔细观察上述情况,我们可以看到一定的矛盾。实际上,为了应用凸优化方法,我们需要确保我们的功能组件是凸的。然而,我们只能通过分析这些函数的结构来检验凸性${ }^2$:如果我们的函数是通过凸操作(求和、极大等)从基本凸函数中得到的,我们就得出它是凸的结论。

因此,当我们检查问题的凸性并选择最小化方案时,问题的功能组件并不在黑盒中。但是我们把它们放在一个黑盒子里用于数值方法。这是标准凸优化理论的主要概念矛盾。 $^3$

数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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