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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。
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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main lemma
At this moment we are interested in the following problem:
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
where $Q$ is a closed convex set, and $f$ is a function, which is convex on $R^n$. We are going to study some methods for solving (3.2.3), which employ subgradients $g(x)$ of the objective function. As compared with the smooth problem, our goal now is much more complicated. Indeed, even in the simplest situation, when $Q \equiv R^n$, the subgradient seems to be a poor replacement for the gradient of smooth function. For example, we cannot be sure that the value of the objective function is decreasing in the direction $-g(x)$. We cannot expect that $g(x) \rightarrow 0$ as $x$ approaches a solution of our problem, etc.
Fortunately, there is one property of subgradients that makes our goals reachable. We have proved this property in Corollary 3.1.4:
At any $x \in Q$ the following inequality holds:
$$
\left\langle g(x), x-x^*\right\rangle \geq 0
$$
This simple inequality leads to two consequences, which form a basis for any nonsmooth minimization method. Namely:
- The distance between $x$ and $x^*$ is decreasing in the direction $-g(x)$.
- Inequality (3.2.4) cuts $R^n$ on two half-spaces. Only one of them contains $x^*$.
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Subgradient method
Now we are ready to analyze the behavior of some minimization schemes. Consider the problem
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
where $f$ is a convex on $R^n$ function and $Q$ is a simple closed convex set. The term “simple” means that we can solve explicitly some simple minimization problems over $Q$. In accordance to the goals of this section, we have to be able to find in a reasonably cheap way a Euclidean projection of any point onto $Q$.
We assume that problem (3.2.7) is equipped with a first-order oracle, which at any test point $\bar{x}$ provides us with the value of objective function $f(\bar{x})$ and with one of its subgradients $g(\bar{x})$.
As usual, we try first a version of a gradient method. Note that for nonsmooth problems the norm of the subgradient, $|g(x)|$, is not very informative. Therefore in the subgradient scheme we use a normalized direction $g(\bar{x}) /|g(\bar{x})|$.
Subgradient method. Unconstrained minimization
- Choose $x_0 \in Q$ and a sequence $\left{h_k\right}_{k=0}^{\infty}$ :
$$
h_k>0, \quad h_k \rightarrow 0, \quad \sum_{k=0}^{\infty} h_k=\infty .
$$ - $k$ th iteration $(k \geq 0)$.
Compute $f\left(x_k\right), g\left(x_k\right)$ and set
$$
x_{k+1}=\pi_Q\left(x_k-h_k \frac{g\left(x_k\right)}{\left|g\left(x_k\right)\right|}\right) .
$$
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Main lemma
现在我们感兴趣的问题是:
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
其中$Q$是一个封闭凸集，$f$是一个函数，它在$R^n$上是凸的。我们将研究一些求解(3.2.3)的方法，这些方法使用目标函数的子梯度$g(x)$。与平滑问题相比，我们现在的目标要复杂得多。事实上，即使在最简单的情况下，当$Q \equiv R^n$时，子梯度似乎也不能很好地替代光滑函数的梯度。例如，我们不能确定目标函数的值在$-g(x)$方向上是递减的。我们不能指望$g(x) \rightarrow 0$当$x$接近我们问题的解决方案时，等等。
幸运的是，子梯度的一个特性使我们的目标可以实现。我们已经在推论3.1.4中证明了这个性质:
对于任意$x \in Q$，下列不等式成立:
$$
\left\langle g(x), x-x^*\right\rangle \geq 0
$$
这个简单的不等式导致两个结果，它们构成了任何非光滑最小化方法的基础。即:
$x$和$x^*$之间的距离沿$-g(x)$方向减小。
不等式(3.2.4)在两个半空间上切割$R^n$。其中只有一个包含$x^*$。
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Subgradient method
现在我们准备分析一些最小化方案的行为。考虑这个问题
$$
\min {f(x) \mid x \in Q}
$$
其中$f$是$R^n$上的一个凸函数，$Q$是一个简单的闭凸集。术语“简单”意味着我们可以显式地解决$Q$上的一些简单的最小化问题。根据本节的目标，我们必须能够以一种合理便宜的方式找到任意点在$Q$上的欧几里得投影。
我们假设问题(3.2.7)配备了一个一阶oracle，该oracle在任意测试点$\bar{x}$为我们提供目标函数$f(\bar{x})$的值及其一个子梯度$g(\bar{x})$。
像往常一样，我们首先尝试一个版本的梯度方法。注意，对于非光滑问题，子梯度的范数$|g(x)|$不是很有用。因此，在次梯度方案中，我们使用归一化方向$g(\bar{x}) /|g(\bar{x})|$。
亚梯度法。无约束最小化
选择$x_0 \in Q$和一个序列$\left{h_k\right}{k=0}^{\infty}$: $$ h_k>0, \quad h_k \rightarrow 0, \quad \sum{k=0}^{\infty} h_k=\infty .
$$
$k$ 迭代$(k \geq 0)$。
计算$f\left(x_k\right), g\left(x_k\right)$并设置
$$
x_{k+1}=\pi_Q\left(x_k-h_k \frac{g\left(x_k\right)}{\left|g\left(x_k\right)\right|}\right) .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。