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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Spaces $\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$

如果你也在 怎样代写傅里叶分析Fourier Analysis 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。傅里叶分析Fourier Analysis在数学中,傅里叶分析(/ˈfʊrieɪ, -iər/)是研究一般函数如何通过较简单的三角函数之和来表示或近似。傅里叶分析源于对傅里叶级数的研究,并以约瑟夫-傅里叶的名字命名,他表明将一个函数表示为三角函数之和可以大大简化对热传递的研究。

傅里叶分析Fourier Analysis的主题包含了一个巨大的数学范围。在科学和工程领域,将一个函数分解成振荡成分的过程通常被称为傅里叶分析,而从这些碎片中重建函数的操作被称为傅里叶合成。例如,确定一个音符中存在哪些频率成分,需要计算采样音符的傅里叶变换。然后,人们可以通过包括傅里叶分析中显示的频率成分来重新合成同一个声音。在数学中,傅里叶分析一词通常指的是对这两种操作的研究。

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Spaces $\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Spaces $\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$

Definition 2.5.5. Given $1 \leq p, q \leq \infty$, we denote by $\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$ the set of all bounded linear operators from $L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$ to $L^q\left(\mathbf{R}^n\right)$ that commute with translations.

By Theorem 2.5.2 we have that every $T$ in $\mathscr{M}^{p, q}$ is given by convolution with a tempered distribution. We introduce a norm $|\cdot|$ on $\mathscr{M}^{p, q}$ by setting
$$
|T|_{\mathscr{M}^{p, q}}=|T|_{L^p \rightarrow L^q},
$$
that is, the norm of $T$ in $\mathscr{M}^{p, q}$ is the operator norm of $T$ as an operator from $L^p$ to $L^q$. It is a known fact that under this norm, $\mathscr{M}^{p, q}$ is a complete normed space (i.e., a Banach space).

Next we show that when $p>q$ the set $\mathscr{M}^{p, q}$ consists of only one element, namely the zero operator $T=0$. This means that the only interesting classes of operators arise when $p \leq q$
Theorem 2.5.6. $\mathscr{M}^{p, q}={0}$ whenever $1 \leq q<p<\infty$.
Proof. Let $f$ be a nonzero $\mathscr{C}0^{\infty}$ function and let $h \in \mathbf{R}^n$. We have $$ \left|\tau^h(T(f))+T(f)\right|{L^q}=\left|T\left(\tau^h(f)+f\right)\right|_{L^q} \leq|T|_{L^p \rightarrow L^q}\left|\tau^h(f)+f\right|_{L^p} .
$$
Now let $|h| \rightarrow \infty$ and use Exercise 2.5.1. We conclude that
$$
2^{\frac{1}{q}}|T(f)|_{L^q} \leq|T|_{L^p \rightarrow L^q} 2^{\frac{1}{p}}|f|_{L^p},
$$
which is impossible if $q<p$ unless $T$ is the zero operator.
Next we have a theorem concerning the duals of the spaces $\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$.

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Characterizations of $\mathscr{M}^{1,1}\left(\mathbf{R}^n\right)$ and $\mathscr{M}^{2,2}\left(\mathbf{R}^n\right)$

It would be desirable to have a characterization of the spaces $\mathscr{M}^{p, p}$ in terms of properties of the convolving distribution. Unfortunately, this is unknown at present (it is not clear whether it is possible) except for certain cases.

Theorem 2.5.8. An operator $T$ is in $\mathscr{M}^{1,1}\left(\mathbf{R}^n\right)$ if and only if it is given by convolution with a finite Borel (complex-valued) measure. In this case, the norm of the operator is equal to the total variation of the measure.

Proof. If $T$ is given with convolution with a finite Borel measure $\mu$, then clearly $T$ maps $L^1$ to itself and $|T|_{L^1 \rightarrow L^1} \leq|\mu|_{\mathscr{M}}$, where $|\mu|_{\mathscr{M}}$ is the total variation of $\mu$.
Conversely, let $T$ be an operator bounded from $L^1$ to $L^1$. By Theorem 2.5.2, $T$ is given by convolution with a tempered distribution $u$. Let
$$
f_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-n} e^{-\pi|x / \varepsilon|^2}
$$
Since the functions $f_{\varepsilon}$ are uniformly bounded in $L^1$, it follows from the boundedness of $T$ that $f_{\varepsilon} * u$ are also uniformly bounded in $L^1$. Since $L^1$ is naturally embedded in the space of finite Borel measures, which is the dual of the space $C_{00}$ of continuous functions that tend to zero at infinity, we obtain that the family $f_{\varepsilon} * u$ lies in a fixed multiple of the unit ball of $C_{00}^$. By the Banach-Alaoglu theorem, this is a weak ${ }^$ compact set. Therefore, some subsequence of $f_{\varepsilon} * u$ converges in the weak ${ }^*$ topology to a measure $\mu$. That is, for some $\varepsilon_k \rightarrow 0$ and all $g \in C_{00}\left(\mathbf{R}^n\right)$ we have
$$
\lim {k \rightarrow \infty} \int{\mathbf{R}^n} g(x)\left(f_{\varepsilon_k} * u\right)(x) d x=\int_{\mathbf{R}^n} g(x) d \mu(x)
$$

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Spaces $\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$

傅里叶分析代写

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|The Spaces $\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$

2.5.5.定义给定$1 \leq p, q \leq \infty$,我们用$\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$表示从$L^p\left(\mathbf{R}^n\right)$到$L^q\left(\mathbf{R}^n\right)$的所有有界线性算子的集合。

由2.5.2定理可知,$\mathscr{M}^{p, q}$中的每一个$T$都是由一个调和分布的卷积给出的。我们通过设置在$\mathscr{M}^{p, q}$上引入规范$|\cdot|$
$$
|T|{\mathscr{M}^{p, q}}=|T|{L^p \rightarrow L^q},
$$
即$\mathscr{M}^{p, q}$中$T$的范数是$T$作为$L^p$到$L^q$的运算符的运算符范数。已知在此范数下,$\mathscr{M}^{p, q}$是一个完全赋范空间(即Banach空间)。

接下来我们将展示当$p>q$集合$\mathscr{M}^{p, q}$只包含一个元素,即零运算符$T=0$。这意味着只有当$p \leq q$
定理2.5.6。$\mathscr{M}^{p, q}={0}$每当$1 \leq q<p<\infty$。
证明。设$f$为非零$\mathscr{C}0^{\infty}$函数,设$h \in \mathbf{R}^n$。我们有$$ \left|\tau^h(T(f))+T(f)\right|{L^q}=\left|T\left(\tau^h(f)+f\right)\right|{L^q} \leq|T|{L^p \rightarrow L^q}\left|\tau^h(f)+f\right|{L^p} . $$ 现在使用$|h| \rightarrow \infty$并使用练习2.5.1。我们的结论是 $$ 2^{\frac{1}{q}}|T(f)|{L^q} \leq|T|{L^p \rightarrow L^q} 2^{\frac{1}{p}}|f|{L^p},
$$
这是不可能的,如果$q<p$除非$T$是零运算符。
接下来我们有一个关于空间对偶的定理$\mathscr{M}^{p, q}\left(\mathbf{R}^n\right)$。

数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Characterizations of $\mathscr{M}^{1,1}\left(\mathbf{R}^n\right)$ and $\mathscr{M}^{2,2}\left(\mathbf{R}^n\right)$

用卷积分布的性质来描述空间$\mathscr{M}^{p, p}$是可取的。不幸的是,除了某些情况,目前这是未知的(不清楚是否可能)。

定理2.5.8。一个算子$T$在$\mathscr{M}^{1,1}\left(\mathbf{R}^n\right)$中当且仅当它是由有限复值(Borel)测度的卷积给出的。在这种情况下,算子的范数等于测度的总变异。

证明。如果$T$与有限Borel度量$\mu$的卷积给出,那么显然$T$将$L^1$映射到自身和$|T|{L^1 \rightarrow L^1} \leq|\mu|{\mathscr{M}}$,其中$|\mu|{\mathscr{M}}$是$\mu$的总变化。 反过来,设$T$是一个从$L^1$到$L^1$的运算符。根据定理2.5.2,$T$是由调和分布$u$的卷积给出的。让 $$ f{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{-n} e^{-\pi|x / \varepsilon|^2}
$$
由于函数$f_{\varepsilon}$在$L^1$中是一致有界的,因此从$T$的有界性可以得出$f_{\varepsilon} * u$在$L^1$中也是一致有界的。由于$L^1$自然地嵌入在有限的Borel测度空间中,它是在无穷远趋于零的连续函数空间$C_{00}$的对偶,我们得到族$f_{\varepsilon} * u$位于$C_{00}^$的单位球的固定倍数中。根据Banach-Alaoglu定理,这是一个弱${ }^$紧集。因此,$f_{\varepsilon} * u$的一些子序列在弱${ }^*$拓扑中收敛到一个测度$\mu$。也就是说,对于一些$\varepsilon_k \rightarrow 0$和我们所有的$g \in C_{00}\left(\mathbf{R}^n\right)$
$$
\lim {k \rightarrow \infty} \int{\mathbf{R}^n} g(x)\left(f_{\varepsilon_k} * u\right)(x) d x=\int_{\mathbf{R}^n} g(x) d \mu(x)
$$

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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