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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Wolff lemma

如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中,特别是在复杂分析中,黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的,并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本:在每一个点附近,它们看起来都像复平面的补丁,但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如,它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。

黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今,黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境,尤其是多值函数,如平方根和其他代数函数,或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形(即表面),但它包含更多的结构(特别是复数结构),这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面(通常有几种不对等的方式),当且仅当它是可定向的和可计量的。因此,球体和环形体允许复杂的结构,但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Wolff lemma

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We now discuss the Wolff lemma, the second boundary version of the Schwarz lemma; in the next section, we shall see some of its consequences, mainly on the structure of the automorphism group of hyperbolic Riemann surfaces, even though for us the main applications will be in the study of the dynamics of holomorphic self-maps, as we shall see in the next chapter.

The original Schwarz lemma said something about functions $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ with a fixed point in $\mathbb{D}$. We now assume instead as hypothesis that $f$ has no fixed points in $\mathbb{D}$. It turns out that then it exists a point $\tau \in \partial \mathbb{D}$ such that $f$ sends every horocycle centered in $\tau$ into itself, exactly as a function with a fixed point $z_0 \in \mathbb{D}$ sends every Poincaré ball centered in $z_0$ into itself. This is the content of the Wolff lemma.

Theorem 2.5.1 (Wolff lemma, 1926). Let $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ be without fixed points. Then there is a unique $\tau \in \partial \mathbb{D}$ such that for all $z \in \mathbb{D}$,
$$
\frac{|\tau-f(z)|^2}{1-|f(z)|^2} \leq \frac{|\tau-z|^2}{1-|z|^2},
$$
i.e.,
$$
f(E(\tau, R)) \subseteq E(\tau, R)
$$
for all $R>0$. Moreover, the equality in (2.65) holds at one point (and hence everywhere) if and only if $f$ is a parabolic automorphism of $\mathbb{D}$ leaving $\tau$ fixed.

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The main applications of the Wolff lemma are in dynamics, as we shall see in the next chapter. Here, we shall instead describe a different application of the Wolff and Julia lemmas, with remarkable consequences for the study of Riemann surfaces.

In Proposition 1.4.12, we saw that two automorphisms of $\mathbb{D}$ commute if and only if they have the same fixed points. We shall now prove a first extension of that result.
Theorem 2.6.1. Let $y \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ be hyperbolic, and $f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$ be such that
$$
f \circ \gamma=y \circ f
$$
Then either $f$ is a hyperbolic automorphism of $\mathbb{D}$ with the same fixed points as $y$ or $f \equiv \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$.

Proof. Assume $f \neq \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$; in particular, $f$ cannot have more than one fixed point (Corollary 1.1.14). If $f$ has a fixed point $z_0 \in \mathbb{D}$, then by (2.70)
$$
f\left(\gamma\left(z_0\right)\right)=y\left(f\left(z_0\right)\right)=\gamma\left(z_0\right)
$$
i. e., $\gamma\left(z_0\right)=z_0$, impossible. Hence $f$ is fixed point free and we can apply the Wolff lemma to get a point $\tau \in \partial \mathbb{D}$ satisfying (2.66). However, $\gamma(\tau)$ still satisfies (2.66), by (2.70) and Proposition 2.1.5; therefore, the uniqueness part of Wolff lemma implies $\gamma(\tau)=\tau$.

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黎曼曲面代写

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现在我们讨论Wolff引理,Schwarz引理的第二个边界版本;在下一节中,我们将看到它的一些结果,主要是关于双曲黎曼曲面的自同构群的结构,尽管对我们来说,主要的应用将是研究全纯自映射的动力学,我们将在下一章中看到。

最初的施瓦茨引理是关于函数$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$在$\mathbb{D}$有一个不动点。我们现在假设$f$在$\mathbb{D}$中没有固定点。结果是,它存在一个点$\tau \in \partial \mathbb{D}$,使得$f$将每一个以$\tau$为中心的环送入自身,就像一个带固定点$z_0 \in \mathbb{D}$的函数将每一个以$z_0$为中心的环送入自身一样。这就是沃尔夫引理的内容。

定理2.5.1(沃尔夫引理,1926)。让$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$没有固定点。然后有一个独特的$\tau \in \partial \mathbb{D}$对于所有$z \in \mathbb{D}$,
$$
\frac{|\tau-f(z)|^2}{1-|f(z)|^2} \leq \frac{|\tau-z|^2}{1-|z|^2},
$$
即,
$$
f(E(\tau, R)) \subseteq E(\tau, R)
$$
对于所有$R>0$。此外,式(2.65)中的等式在一点上成立(因此处处成立)当且仅当$f$是$\mathbb{D}$的抛物自同构,使$\tau$固定。

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沃尔夫引理的主要应用是在动力学中,我们将在下一章看到。在这里,我们将描述Wolff引理和Julia引理的另一种应用,对黎曼曲面的研究有显著的影响。

在命题1.4.12中,我们看到$\mathbb{D}$的两个自同构交换当且仅当它们有相同的不动点。现在我们要证明这个结果的第一个推广。
定理2.6.1。设$y \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$为双曲,$f \in \operatorname{Hol}(\mathbb{D}, \mathbb{D})$为
$$
f \circ \gamma=y \circ f
$$
那么$f$是$\mathbb{D}$的双曲自同构,与$y$或$f \equiv \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$具有相同的不动点。

证明。假设$f \neq \mathrm{id}_{\mathbb{D}}$;特别地,$f$不能有多个不动点(推论1.1.14)。如果$f$有一个固定点$z_0 \in \mathbb{D}$,则由(2.70)
$$
f\left(\gamma\left(z_0\right)\right)=y\left(f\left(z_0\right)\right)=\gamma\left(z_0\right)
$$
例如,$\gamma\left(z_0\right)=z_0$,不可能。因此$f$是不动点,我们可以应用Wolff引理得到一个满足(2.66)的点$\tau \in \partial \mathbb{D}$。然而,$\gamma(\tau)$仍然满足(2.66)、(2.70)和命题2.1.5;因此,Wolff引理的唯一性部分暗示$\gamma(\tau)=\tau$。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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