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# 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Poincaré distance

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## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Poincaré distance

The action of $\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ on $\mathbb{D}$ is transitive but it is not doubly transitive. Indeed, the Schwarz lemma implies that given $z_1, z_2 \in \mathbb{D}$ there exists $y \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ such that $y(0)=0$ and $y\left(z_1\right)=z_2$ if and only if $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$. This is the first clue to the existence of an underlying geometrical structure that must be preserved by $\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ and, therefore, should be strictly correlated to the holomorphic structure.
This geometrical structure is represented by the Poincaré distance.
Definition 1.2.1. The Poincare distance $\omega: \mathbb{D} \times \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$on the unit disk $\mathbb{D}$ is given by
$$\omega\left(z_1, z_2\right)=\frac{1}{2} \log \frac{1+\left|\frac{z_2-z_1}{1-\bar{z}_1 z_2}\right|}{1-\left|\frac{z_2-z_1}{1-\bar{z}_1 z_2}\right|} .$$
Remark 1.2.2. The function $t \mapsto \frac{1}{2} \log \frac{1+t}{1-t}$ is the inverse $\tanh ^{-1}$ of the hyperbolic tangent function $\tanh t=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}$. In particular, $\tanh ^{-1}$ is a strictly increasing diffeomorphism between $[0,1)$ and $\mathbb{R}^{+}=[0,+\infty)$. We recall here the useful addition formula for the hyperbolic tangent:
$$\tanh (a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+(\tanh a)(\tanh b)}$$
valid for all $a, b \in \mathbb{R}$.

## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The upper half-plane

In this section we introduce a very useful domain biholomorphic to the unit disk. As we shall see, working in this other domain will sometimes be easier than working in the unit disk and the results obtained there will be easily transferred to the unit disk via a canonical biholomorphism.
Definition 1.3.1. The upper half-plane $\mathbb{H}^{+}$is the domain in $\mathbb{C}$ given by
$$\mathbb{H}^{+}={z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im} z>0}$$
Remark 1.3.2. The closure of $\mathbb{H}^{+}$in $\mathbb{C}$ clearly is $\mathbb{H}^{+} \cup \mathbb{R}$. However, for reasons that will become clearer in the sequel, it is natural to consider $\mathbb{H}^{+}$as embedded in the Riemann sphere $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup{\infty}$ (see Example 1.6.3). Thus for us the closure $\overline{\mathbb{H}^{+}}$of $\mathbb{H}^{+}$ will be $\overline{\mathbb{H}^{+}}=\mathbb{H}^{+} \cup \mathbb{R} \cup{\infty}$ and the boundary of $\mathbb{H}^{+}$will be $\partial \mathbb{H}^{+}=\mathbb{R} \cup{\infty}$.
Definition 1.3.3. The Cayley transform is the function $\Psi: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}^{+}$given by
$$\Psi(z)=i \frac{1+z}{1-z} .$$
Since
$$\operatorname{Im}\left(i \frac{1+z}{1-z}\right)=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}$$
it is easily verified that $\Psi$ is a biholomorphism between $\mathbb{D}$ and $\mathbb{H}^{+}$, with inverse
$$\Psi^{-1}(w)=\frac{w-i}{w+i}$$
Notice that
$$1-\left|\Psi^{-1}(w)\right|^2=\frac{4 \operatorname{Im} w}{|w+i|^2}$$
and that
$$\Psi^{\prime}(z)=\frac{2 i}{(1-z)^2}, \quad\left(\Psi^{-1}\right)^{\prime}(w)=\frac{2 i}{(w+i)^2}$$
for all $z \in \mathbb{D}$ and $w \in \mathbb{H}^{+}$.

## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The Poincaré distance

1.2.1.定义庞加莱距离 $\omega: \mathbb{D} \times \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$在单元磁盘上 $\mathbb{D}$ 是由
$$\omega\left(z_1, z_2\right)=\frac{1}{2} \log \frac{1+\left|\frac{z_2-z_1}{1-\bar{z}_1 z_2}\right|}{1-\left|\frac{z_2-z_1}{1-\bar{z}_1 z_2}\right|} .$$
1.2.2.函数 $t \mapsto \frac{1}{2} \log \frac{1+t}{1-t}$ 是倒数 $\tanh ^{-1}$ 双曲正切函数 $\tanh t=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}$． 特别是， $\tanh ^{-1}$ 是严格递增的微分同态吗 $[0,1)$ 和 $\mathbb{R}^{+}=[0,+\infty)$． 我们在这里回顾一下双曲正切的有用的加法公式:
$$\tanh (a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+(\tanh a)(\tanh b)}$$

## 数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The upper half-plane

1.3.1.定义上半平面 $\mathbb{H}^{+}$定义域在吗? $\mathbb{C}$ 由
$$\mathbb{H}^{+}={z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im} z>0}$$
1.3.2.的结束 $\mathbb{H}^{+}$在 $\mathbb{C}$ 显然是 $\mathbb{H}^{+} \cup \mathbb{R}$． 然而，由于在续集中会变得更清楚的原因，我们很自然地要考虑 $\mathbb{H}^{+}$嵌入在黎曼球中 $\widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup{\infty}$ (参见例1.6.3)。这就是我们的结局 $\overline{\mathbb{H}^{+}}$的 $\mathbb{H}^{+}$ 将会是 $\overline{\mathbb{H}^{+}}=\mathbb{H}^{+} \cup \mathbb{R} \cup{\infty}$ 的边界 $\mathbb{H}^{+}$将会是 $\partial \mathbb{H}^{+}=\mathbb{R} \cup{\infty}$．
1.3.3.定义凯利变换就是这个函数 $\Psi: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}^{+}$由
$$\Psi(z)=i \frac{1+z}{1-z} .$$

$$\operatorname{Im}\left(i \frac{1+z}{1-z}\right)=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}$$

$$\Psi^{-1}(w)=\frac{w-i}{w+i}$$

$$1-\left|\Psi^{-1}(w)\right|^2=\frac{4 \operatorname{Im} w}{|w+i|^2}$$

$$\Psi^{\prime}(z)=\frac{2 i}{(1-z)^2}, \quad\left(\Psi^{-1}\right)^{\prime}(w)=\frac{2 i}{(w+i)^2}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。