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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONTINUOUS LINEAR REGULATOR PROBLEMS

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最优化Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分:目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时,它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数,通常表示为 f 或 z,反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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Problems like Example 3.11-1 with linear plant dynamics and quadratic performance criteria are referred to as linear regulator problems. In this section we investigate the use of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation as a means of solving the general form of the continuous linear regulator problem.t
The process to be controlled is described by the state equations
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
$$
and the performance measure to be minimized is
$$
J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T\left(t_f\right) \mathbf{H} \mathbf{x}\left(t_f\right)+\int_{t_0}^{t_f} \frac{1}{2}\left[\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right] d t
$$
$\mathbf{H}$ and $\mathbf{Q}$ are real symmetric positive semi-definite matrices, $\mathbf{R}$ is a real, symmetric positive definite matrix, the initial time $t_0$ and the final time $t_f$ are specified, and $\mathbf{u}(t)$ and $\mathbf{x}(t)$ are not constrained by any boundaries.

To use the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we first form the Hamiltonian:
$$
\begin{array}{cc}
\mathscr{H}\left(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), J_{\mathbf{x}}^, t\right)= & \frac{1}{2} \mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\frac{1}{2} \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)+J_{\mathbf{x}}^{ T}(\mathbf{x}(t), t) \
& \cdot[\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)]
\end{array}
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|THE HAMILTON-JACOBI-BELLMAN EQUATION-SOME OBSERVATIONS

We have derived the Hamilton-Jacobi-Bellman equation and used it to solve two examples of the linear regulator type. Let us now make some observations concerning the H-J-B functional equation.
Boundary Conditions
In our derivation we have assumed that $t_f$ is fixed; however, the results still apply if $t_f$ is free. For example, if $S$ represents some hypersurface in the state space and $t_f$ is defined as the first time the system’s trajectory intersects $S$, then the boundary condition is
$$
J^\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right) $$ A Necessary Condition The results we have obtained represent a necessary condition for optimality; that is, the minimum cost function $J^(\mathbf{x}(t), t)$ must satisfy the Hamilton-Jacobi-Bellman equation.

A Sufficient Condition
Although we have not derived it here, it is also true that if there is a cost function $J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)$ that satisfies the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, then $J^{\prime}$ is the minimum cost function; i.e.,
$$
J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)=J^*(\mathbf{x}(t), t)
$$
Rigorous proofs of the necessary and sufficient conditions embodied in the H-J-B equation are given in [K-5] and also in [A-2], which contains several examples.
Solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman Equation
In both of the examples that we considered, a solution was obtained by guessing a form for the minimum cost function. Unfortunately, we are normally unable to find a solution so easily. In general, the H-J-B equation must be solved by numerical techniques-see [F-1], for example. Actually, a numerical solution involves some sort of a discrete approximation to the exact optimization relationship [Eq. (3.11-10)]; alternatively, by solving the recurrence relation [Eq. (3.7-18)] we obtain the exact solution to a discrete approximation of the Hamilton-Jacobi-Bellman functional equation.

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|CONTINUOUS LINEAR REGULATOR PROBLEMS

最优化代写

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像例3.11-1这样具有线性植物动力学和二次性能准则的问题被称为线性调节器问题。在本节中,我们研究使用Hamilton-Jacobi-Bellman方程作为解决连续线性调节器问题一般形式的一种方法
要控制的过程用状态方程来描述
$$
\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
$$
要最小化的性能指标是
$$
J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T\left(t_f\right) \mathbf{H} \mathbf{x}\left(t_f\right)+\int_{t_0}^{t_f} \frac{1}{2}\left[\mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)\right] d t
$$
$\mathbf{H}$和$\mathbf{Q}$是实对称正半定矩阵,$\mathbf{R}$是实对称正定矩阵,指定了初始时间$t_0$和最终时间$t_f$, $\mathbf{u}(t)$和$\mathbf{x}(t)$不受任何边界约束。

为了使用哈密顿-雅可比-贝尔曼方程,我们首先构造哈密顿量:
$$
\begin{array}{cc}
\mathscr{H}\left(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), J_{\mathbf{x}}^, t\right)= & \frac{1}{2} \mathbf{x}^T(t) \mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t)+\frac{1}{2} \mathbf{u}^T(t) \mathbf{R}(t) \mathbf{u}(t)+J_{\mathbf{x}}^{ T}(\mathbf{x}(t), t) \
& \cdot[\mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)]
\end{array}
$$

数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|THE HAMILTON-JACOBI-BELLMAN EQUATION-SOME OBSERVATIONS

我们推导了Hamilton-Jacobi-Bellman方程,并用它来求解两个线性调节器类型的例子。现在让我们对H-J-B泛函方程做一些观察。
边界条件
在推导中,我们假设$t_f$是固定的;但是,如果$t_f$是免费的,结果仍然适用。例如,$S$表示状态空间中的某个超曲面,将$t_f$定义为系统轨迹第一次与$S$相交,则边界条件为
$$
J^\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right)=h\left(\mathbf{x}\left(t_f\right), t_f\right) $$必要条件我们得到的结果是最优性的必要条件;即最小代价函数$J^(\mathbf{x}(t), t)$必须满足Hamilton-Jacobi-Bellman方程。

充分条件
虽然我们没有在这里推导出来,但如果存在一个成本函数$J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)$满足Hamilton-Jacobi-Bellman方程,那么$J^{\prime}$是最小成本函数;即,
$$
J^{\prime}(\mathbf{x}(t), t)=J^*(\mathbf{x}(t), t)
$$
[K-5]和[A-2]给出了H-J-B方程所包含的充分必要条件的严格证明,并给出了几个例子。
Hamilton-Jacobi-Bellman方程的解
在我们考虑的两个例子中,通过猜测最小代价函数的形式来获得解。不幸的是,我们通常无法如此轻易地找到解决方案。一般来说,H-J-B方程必须用数值方法求解,例如参见[F-1]。实际上,数值解涉及某种对精确优化关系的离散逼近[Eq. (3.11-10)];或者,通过求解递归关系[Eq.(3.7-18)],我们可以得到Hamilton-Jacobi-Bellman泛函方程离散近似的精确解。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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