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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Linear differential equations of order $n$

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Linear differential equations of order $n$

A linear nonhomogeneous differential equation of order $n$ has the following structure
$$y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0(x) y(x)=b(x)$$
where the $a_i$ are the coefficient functions and $b$ represents the inhomogeneity. We assume that these functions are continuous on the closed interval $I$. This assumption and the linear structure of the model imply that the Lipschitz condition discussed above is satisfied. Therefore (5.5) with given initial conditions admits a unique $C^n$ solution.

The $n$-order ODE system corresponding to $(5.5)$ is given by
\begin{aligned} y_1^{\prime}(x) & =y_2(x) \ y_2^{\prime}(x) & =y_3(x) \ & \vdots \ y_n^{\prime}(x) & =-a_{n-1}(x) y_n(x)-\cdots-a_0(x) y_1(x)+b(x) . \end{aligned}
Now, define $\underline{b}(x)=(0,0, \ldots, b(x))^T$ and the matrix
$$A(x)=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \cdots & 0 & \ddots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & \ddots & 1 \ -a_0(x) & -a_1(x) & \cdots & \cdots & -a_{n-1}(x) \end{array}\right)$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The reduction method of d’Alembert

We write the ODE of order $n$ given by (5.8) as follows:
$$\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(k)}(x)=0$$
where $a_n(x)=1$. Further, assume that $\tilde{y}(x)$ is a non-trivial solution to this equation, and let $y(x)=\psi(x) \tilde{y}(x)$. Then,
$$y^{(k)}=(\psi(x) \tilde{y}(x))^{(k)}=\sum_{j=0}^k\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) \psi^{(j)} \tilde{y}^{(k-j)} ;$$
we obtain
\begin{aligned} 0 & =\sum_{k=0} n a_k(x)(\psi(x) \tilde{y}(x))^{(k)}(x)=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^k a_k(x)\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) \psi^{(j)}(x) \tilde{y}^{(k-j)}(x)= \ & =\sum_{j=0}^n \sum_{k=j}^n\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) a_k(x) \psi^{(j)}(x) \tilde{y}^{(k-j)}(x)= \ & =\underbrace{\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} k \ 0 \end{array}\right) a_k(x) \tilde{y}^{(k)}(x)}{=0}+\sum{j=1}^n \sum_{k=j}^n\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) a_k(x) \psi^{(j)}(x) \tilde{y}^{(k-j)}(x)= \end{aligned}

\begin{aligned} & =\sum_{j=0}^{n-1} \underbrace{\left[\sum_{k=j+1}^n \psi(x)\left(\begin{array}{c} k \ j+1 \end{array}\right) a_k(x) \tilde{y}^{(k-j-1)}(x)\right]}{=b_j(x)} \psi^{(j+1)}(x) \ & =\sum{j=0}^{n-1} b_j(x) \psi^{(j+1)}(x)=\sum_{j=0}^{n-1} b_j(x) \omega^{(j)}(x), \end{aligned}
where $\omega(x)=\psi^{\prime}(x)$ results to be a solution of an ODE of order $(n-1)$.

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Linear differential equations of order $n$

$$y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_0(x) y(x)=b(x)$$

\begin{aligned} y_1^{\prime}(x) & =y_2(x) \ y_2^{\prime}(x) & =y_3(x) \ & \vdots \ y_n^{\prime}(x) & =-a_{n-1}(x) y_n(x)-\cdots-a_0(x) y_1(x)+b(x) . \end{aligned}

$$A(x)=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \cdots & 0 & \ddots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & \ddots & 1 \ -a_0(x) & -a_1(x) & \cdots & \cdots & -a_{n-1}(x) \end{array}\right)$$

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|The reduction method of d’Alembert

$$\sum_{k=0}^n a_k(x) y^{(k)}(x)=0$$

$$y^{(k)}=(\psi(x) \tilde{y}(x))^{(k)}=\sum_{j=0}^k\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) \psi^{(j)} \tilde{y}^{(k-j)} ;$$

\begin{aligned} 0 & =\sum_{k=0} n a_k(x)(\psi(x) \tilde{y}(x))^{(k)}(x)=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^k a_k(x)\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) \psi^{(j)}(x) \tilde{y}^{(k-j)}(x)= \ & =\sum_{j=0}^n \sum_{k=j}^n\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) a_k(x) \psi^{(j)}(x) \tilde{y}^{(k-j)}(x)= \ & =\underbrace{\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} k \ 0 \end{array}\right) a_k(x) \tilde{y}^{(k)}(x)}{=0}+\sum{j=1}^n \sum_{k=j}^n\left(\begin{array}{c} k \ j \end{array}\right) a_k(x) \psi^{(j)}(x) \tilde{y}^{(k-j)}(x)= \end{aligned}

\begin{aligned} & =\sum_{j=0}^{n-1} \underbrace{\left[\sum_{k=j+1}^n \psi(x)\left(\begin{array}{c} k \ j+1 \end{array}\right) a_k(x) \tilde{y}^{(k-j-1)}(x)\right]}{=b_j(x)} \psi^{(j+1)}(x) \ & =\sum{j=0}^{n-1} b_j(x) \psi^{(j+1)}(x)=\sum_{j=0}^{n-1} b_j(x) \omega^{(j)}(x), \end{aligned}

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