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数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Stability of nonlinear ODE systems

如果你也在 怎样代写常微分方程Ordinary Differential Equations 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。常微分方程Ordinary Differential Equations在数学中,常微分方程(ODE)是包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数的微分方程。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能涉及一个以上的独立变量。

常微分方程Ordinary Differential Equations在常微分方程中,线性微分方程起着突出的作用,原因有几个。在物理学和应用数学中遇到的大多数基本函数和特殊函数都是线性微分方程的解(见整体函数)。当用非线性方程对物理现象进行建模时,一般用线性微分方程来近似,以便于求解。少数可以显式求解的非线性ODE,一般是通过将方程转化为等效的线性ODE来解决的(见,例如Riccati方程)。

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At the beginning of this chapter, we have outlined that the stability of a solution $\underline{y}$ to $\underline{y}^{\prime}=\underline{f}(x, \underline{y})$ with initial condition $\underline{y}(0)=\underline{y}$, where $\underline{f} \in C^1$, leads to the analysis of stability of
$$
\underline{z}^{\prime}(x)=A(x, \underline{y}(x)) \underline{z}(x)+\underline{g}(x, \underline{z}(x))
$$
where $\underline{g}(x, \underline{z}(x))=o(|\underline{z}|)$ as $|\underline{z}| \rightarrow 0$, and $A=\partial_y \underline{f}(x, \underline{y})$
Now, as a prototype of this equation, we assume that $A$ is a constant matrix and prove the following theorem due to Oskar Perron.

Theorem 6.5 Consider
$$
\underline{y}^{\prime}(x)=A \underline{y}(x)+\underline{g}(x, \underline{y}(x))
$$
where $A$ is a real constant matrix with all its eigenvalue having negative real parts. Let $\underline{g}$ be real, continuous for small $|\underline{y}|$ and $x \geq 0$, and
$$
\underline{g}(x, \underline{y})=o(|\underline{y}|), \quad|\underline{y}| \rightarrow 0
$$
uniformly in $x$. Then the identically zero solution of (6.7) is (locally) asymptotically stable.

数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Remarks on the stability of periodic ODE problems

The results of Theorem 6.5 apply also in case the constant matrix $A$ in (6.7) is replaced by a periodic matrix function with period $T: A(x+T)=$ $A(x), x \in \mathbb{R}$. To illustrate this fact, recall that, by Theorem 4.10 , if $Y$ is a solution matrix for $\underline{y}^{\prime}=A(x) \underline{y}$ on $\mathbb{R}$ with $A$ periodic, then there exists a periodic non-singular $m$ atrix function $P$ with period $T$, and a constant matrix $R$ such that $Y(x)=P(x) e^{x R}$. Now, let $\underline{y}=P(x) \underline{z}$ in (6.7) and use the fact that $P^{\prime}(x)=Y^{\prime}(x) e^{-x R}-Y(x) e^{-x R} R$. We obtain the following differential equation:
$$
\underline{z}^{\prime}=R \underline{z}+P^{-1}(x) \underline{g}(x, P(x) \underline{z})
$$
Notice that this equation has the structure considered in Theorem 6.5 and $P$ is bounded. Therefore, if all characteristic exponents of $R$ (eigenvalues) have negative real part and $\underline{g}(x, \underline{y})=o(|\underline{y}|)$, then the identically zero solution of (6.9) is asymptotically stable and so is the zero solution to (6.7) with a periodic matrix function $A$.

Furthermore, consider the system $\underline{y}^{\prime}=\underline{f}(x, \underline{y})$ where $\underline{f} \in C^1$ is periodic in $x$ and the system admits a periodic solution $\underline{y}$ (for simplicity, assume that they both have the same period). Then the matrix function $A=\partial_y \underline{f}\left(x, \underline{y}_p\right)$ is also periodic and the analysis of stability of the periodic solution $\underline{y}_p$ leads to the analysis of stability of the identically zero solution to
$$
\underline{z}^{\prime}(x)=\partial_y \underline{f}\left(x, \underline{y}_p\right) \underline{z}(x)+\underline{g}(x, \underline{z}(x))
$$

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常微分方程代写

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在本章的开始,我们已经概述了一个解的稳定性$\underline{y}$到$\underline{y}^{\prime}=\underline{f}(x, \underline{y})$具有初始条件$\underline{y}(0)=\underline{y}$,其中$\underline{f} \in C^1$,导致稳定性的分析
$$
\underline{z}^{\prime}(x)=A(x, \underline{y}(x)) \underline{z}(x)+\underline{g}(x, \underline{z}(x))
$$
这里$\underline{g}(x, \underline{z}(x))=o(|\underline{z}|)$是$|\underline{z}| \rightarrow 0$, $A=\partial_y \underline{f}(x, \underline{y})$呢
现在,作为这个方程的原型,我们假设$A$是一个常数矩阵,并证明Oskar Perron的以下定理。

定理6.5考虑
$$
\underline{y}^{\prime}(x)=A \underline{y}(x)+\underline{g}(x, \underline{y}(x))
$$
其中$A$是一个实常数矩阵其所有特征值都有负实部。设$\underline{g}$为实数,对于小的$|\underline{y}|$和$x \geq 0$是连续的,和
$$
\underline{g}(x, \underline{y})=o(|\underline{y}|), \quad|\underline{y}| \rightarrow 0
$$
均匀地在$x$。则式(6.7)的同零解是(局部)渐近稳定的。

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定理6.5的结果也适用于常数矩阵 $A$ 用带周期的周期矩阵函数代替式(6.7) $T: A(x+T)=$ $A(x), x \in \mathbb{R}$. 为了说明这个事实,回想一下,根据定理4.10,如果 $Y$ 解矩阵是什么 $\underline{y}^{\prime}=A(x) \underline{y}$ 在 $\mathbb{R}$ 有 $A$ 周期,那么存在一个周期非奇异 $m$ 矩阵函数 $P$ 有周期 $T$和一个常数矩阵 $R$ 这样 $Y(x)=P(x) e^{x R}$. 现在,让 $\underline{y}=P(x) \underline{z}$ 在(6.7)中,使用 $P^{\prime}(x)=Y^{\prime}(x) e^{-x R}-Y(x) e^{-x R} R$. 得到微分方程:
$$
\underline{z}^{\prime}=R \underline{z}+P^{-1}(x) \underline{g}(x, P(x) \underline{z})
$$
注意这个方程具有定理6.5和定理6.5中考虑的结构 $P$ 是有界的。因此,如果的所有特征指数 $R$ (特征值)有负实部和 $\underline{g}(x, \underline{y})=o(|\underline{y}|)$,则式(6.9)的同零解渐近稳定,式(6.7)的带周期矩阵函数的零解渐近稳定 $A$.

此外,考虑系统$\underline{y}^{\prime}=\underline{f}(x, \underline{y})$,其中$\underline{f} \in C^1$在$x$中是周期性的,并且系统允许一个周期解$\underline{y}$(为简单起见,假设它们具有相同的周期)。那么矩阵函数$A=\partial_y \underline{f}\left(x, \underline{y}_p\right)$也是周期的,对周期解的稳定性分析$\underline{y}_p$引出对的同零解的稳定性分析
$$
\underline{z}^{\prime}(x)=\partial_y \underline{f}\left(x, \underline{y}_p\right) \underline{z}(x)+\underline{g}(x, \underline{z}(x))
$$

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微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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