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# 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|d’Alembert’s Solution of the Wave Equation

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## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|d’Alembert’s Solution of the Wave Equation

Consider the $n=1$ dimensional version of the wave equation (4.4.1). That is,
$$\left.\begin{array}{ll} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)=\sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t), & \text { for } x \in \mathbb{R}, t>0 \ u(x, 0)=f(x), & \text { for } x \in \mathbb{R} \ \frac{\partial u}{\partial t}(x)=g(x), & \text { for } x \in \mathbb{R} \end{array}\right}$$
for $f \in C^2(\mathbb{R})$ and $g \in C^1(\mathbb{R})$. Then the solution (4.4.3) still applies but the frequency vector $\boldsymbol{\omega}$ is now merely the one-dimensional variable $\omega$ and the norm or length of the vector $\boldsymbol{\omega}$ is $|\boldsymbol{\omega}|=$ $|\omega|$. Consider the function $\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}=\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$ from (4.4.3). If $|\omega|=-\omega$, then $\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$ $=\frac{\sin (-\sigma \omega t)}{-\sigma \omega}=\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}$ since sine is an odd function. Similarly, $|\omega|=\omega$ means that $\frac{\sin (\sigma|\omega| t)}{\sigma|\omega|}$ $=\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}$. In either case, it must be that $W_2(x, t)=\mathfrak{F}^{-1}\left\frac{\sin (\sigma \omega t)}{\sigma \omega}\right=t \cdot \mathscr{F}^{-1}\left\frac{\sin (\sigma t \omega)}{\sigma t \omega}\right$.

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Fourier Transform Solution

Recall the properties of the $n$-dimensional Fourier transform $\mathscr{F}$ from $\S 4.1$ of Chapter 4 . Note that for $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3, \Delta A=\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial z^2}$. Use properties 4.1.4 and 4.1.7 and apply $\mathscr{F}$ to the top equation of (5.0.4). Utilize the notation $Q(\omega, t)=\mathscr{F}A(\boldsymbol{x}, t)$ and $P(\omega, t)=\mathscr{J}p(\boldsymbol{x}, t)$ to obtain $\frac{\partial^2 Q}{\partial t^2}(\boldsymbol{\omega}, t)=-c^2|\omega|^2 Q(\boldsymbol{\omega}, t)+P(\boldsymbol{\omega}, t)$ where $|\boldsymbol{\omega}|^2=\omega_1^2+\omega_2^2+\omega_3^2$. Since $c$ is the speed of light and the norm $|\boldsymbol{\omega}|$ are both positive numbers, then $\alpha=c \cdot|\boldsymbol{\omega}|>0$. The Fourier transform of the top equation in (5.0.4) takes the more conventional form
$$\frac{d^2 Q}{d t^2}(\omega, t)=-\alpha^2 Q(\omega, t)+P(\omega, t) .$$

This, however, is precisely the equation first encountered in $\S 4.5$ of Chapter 4 which has solution $Q(\boldsymbol{\omega}, t)=q_c(\boldsymbol{\omega}, t)+q_p(\boldsymbol{\omega}, t)$, where $q_c(\boldsymbol{\omega}, t)=c_1 \cos (\alpha t)+c_2 \sin (\alpha t)=c_1 \cos (c|\boldsymbol{\omega}| t)+c_2 \sin (c|\boldsymbol{\omega}| t)$ and $q_p(\boldsymbol{\omega}, t)=\int_0^t \frac{\sin (c|\omega|[t-\tau])}{c|\omega|} P(\omega, \tau) d \tau$. This means
$$Q(\omega, t)=c_1 \cos (c|\omega| t)+c_2 \sin (c|\omega| t)+\int_0^t \frac{\sin (c|\omega|[t-\tau])}{c|\omega|} P(\omega, \tau) d \tau .$$

# 偏微分方程代写

## 数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|d’Alembert’s Solution of the Wave Equation

$$\left.\begin{array}{ll} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)=\sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t), & \text { for } x \in \mathbb{R}, t>0 \ u(x, 0)=f(x), & \text { for } x \in \mathbb{R} \ \frac{\partial u}{\partial t}(x)=g(x), & \text { for } x \in \mathbb{R} \end{array}\right}$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。