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# 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Duality between cohomology and homology

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## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Duality between cohomology and homology

This duality results by comparison of the two sequences (I) $\quad c^{q-1}(U, F) \stackrel{q}{\mathrm{q}-1} \longrightarrow c^q(\mathbb{U}, f) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} c^{q+1}(q 1, f)$
where of 18 a coherent sheaf and $2<c m$ is a countable finite covering of $X$.
In (I) the spaces are spaces of Fréchet-Schwartz and the maps are continuous, in (II) the spaces are strong duals of spaces of Frêchet-Schwartz and the maps as transposeds of the previous ones are continuous. Moreover each sequence is the dual of the other as the spaces of Fréchet-Schwartz and their strong duals are reflexive spaces.

By application of the duality lemma $(8.2 .1)$ we obtain Theorem $(8 \cdot 3.1)$
(a) If $\delta_q$ is a topological homomorphism then
$$H_q\left(X, F_\right)=\text { Hom cont }\left(H^q(X, \mathcal{F}), \Phi\right) \text {. }$$ Moreover $H^{q+1}(X, F)$ and $H_q\left(X, F_\right)$ are separated.
(b) If $\partial_{q-1}$ is a topological homomorphism then $H^q(x, \mathcal{F})=$ Hom cont $\left(H_q\left(x, \mathcal{F}\right), \mathbb{\Psi}\right)$. Moreover $H{q-1}\left(X, \mathcal{F}_\right)$ and $H^q(X, \mathcal{F})$ are separated.

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Divisors and Riemann-Roth theorem

a) Let $X$ be a connected complex mantold of complex dimension n. The sheaf $\theta$ * of germs of never vanishing holomorphic functions as a sheaf of multiplicative groups, can be considered as a subsheaf of the following sheaves:
the sheaf $M$ ” of germs of non 1dentically zero meromorphic functions,
the sheaf $\theta 0_0^*$ of germs of non 1dentically zero homolorphic functions.

Wile the sheaf M* is a sheaf of multiplicative groups, the sheaf $\theta_0^* 18$ a sheaf of multiplicative monoids.
We thus get two exact sequences of sheaves
(1) $0 \rightarrow \theta^* \rightarrow M^* \rightarrow \infty \rightarrow 0$
(2) $0 \rightarrow \theta^* \rightarrow \theta_0^* \rightarrow \theta_{+} \rightarrow 0$
where the sheaves $\otimes$ and $\theta+$ are defined by the exactness of the sequences. The sheaf + is called the sheaf of germs of (meromorphic) divisors. The sheaf $\theta+$ is called the sheaf of germs of holomorphic or positive divisors.
The elements of $H^0(X, D)$ are called meromorphic divisors on $X$ and the elements of $\mathrm{H}^O\left(\mathrm{X}, \rho_{+}\right)$are called holomorphic or positive divisors on $X$.
An element $D \in H^0(x, \varnothing)$ ) (resp. $D \in H^0\left(x, \theta_{+}\right)$) is given on a sufficiently fine open covering o $U=\left{U_1\right}_{1 \in I}$ of $x$ by a collection $\left{\mathfrak{f}1\right}$ of meromorphic (resp. holomorphic) functions, not identically zero, on each $U_1$, and such that $$\frac{f_1}{f_j}=g{1 j}: U_1 \cap U_j \rightarrow \mathbb{E}^* \quad 1, j \in I$$
is holomorphic and never zero.

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Duality between cohomology and homology

(a)如果$\delta_q$是拓扑同态，则
$$H_q\left(X, F_\right)=\text { Hom cont }\left(H^q(X, \mathcal{F}), \Phi\right) \text {. }$$并且$H^{q+1}(X, F)$和$H_q\left(X, F_\right)$是分开的。
(b)如果$\partial_{q-1}$是拓扑同态，则$H^q(x, \mathcal{F})=$ homcont $\left(H_q\left(x, \mathcal{F}\right), \mathbb{\Psi}\right)$。而且$H{q-1}\left(X, \mathcal{F}_\right)$和$H^q(X, \mathcal{F})$是分开的。

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Divisors and Riemann-Roth theorem

a)设$X$为复维数为n的连通复矩阵。永不消失的全纯函数胚芽的层$\theta$ 作为一层乘法群，可以认为是以下层的子层: 非密零亚纯函数的胚芽群$M$”， 非牙零同态函数的胚芽群$\theta 0_0^$

(1) $0 \rightarrow \theta^* \rightarrow M^* \rightarrow \infty \rightarrow 0$
(2) $0 \rightarrow \theta^* \rightarrow \theta_0^* \rightarrow \theta_{+} \rightarrow 0$

$H^0(X, D)$的元素在$X$上称为亚纯因子，$\mathrm{H}^O\left(\mathrm{X}, \rho_{+}\right)$的元素在$X$上称为全纯因子或正因子。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。