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# 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Angle between two Vectors

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## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Angle between two Vectors

Consider two vectors $x$ and $y \in \mathbb{R}^p$. The angle $\theta$ between $x$ and $y$ is defined by the cosine of $\theta$ :
$$\cos \theta=\frac{x^{\top} y}{|x||y|}$$
see Figure 2.4. Indeed for $p=2, x=\left(\begin{array}{l}x_1 \ x_2\end{array}\right)$ and $y=\left(\begin{array}{l}y_1 \ y_2\end{array}\right)$, we have
\begin{aligned} |x| \cos \theta_1 & =x_1 ; \quad|y| \cos \theta_2=y_1 \ |x| \sin \theta_1 & =x_2 ; \quad|y| \sin \theta_2=y_2, \end{aligned}
therefore,
$$\cos \theta=\cos \theta_1 \cos \theta_2+\sin \theta_1 \sin \theta_2=\frac{x_1 y_1+x_2 y_2}{|x||y|}=\frac{x^{\top} y}{|x||y|} .$$

## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Column Space and Null Space of a Matrix

Define for $\mathcal{X}(n \times p)$
$$\operatorname{Im}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} C(\mathcal{X})=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid \exists a \in \mathbb{R}^p \text { so that } \mathcal{X} a=x\right}$$

the space generated by the columns of $\mathcal{X}$ or the column space of $\mathcal{X}$. Note that $C(\mathcal{X}) \subseteq \mathbb{R}^n$ and $\operatorname{dim}{C(\mathcal{X})}=\operatorname{rank}(\mathcal{X})=r \leq \min (n, p)$.
$$\operatorname{Ker}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} N(\mathcal{X})=\left{y \in \mathbb{R}^p \mid \mathcal{X} y=0\right}$$
is the null space of $\mathcal{X}$. Note that $N(\mathcal{X}) \subseteq \mathbb{R}^p$ and that $\operatorname{dim}{N(\mathcal{X})}=p-r$.
REMARK $2.2 N\left(\mathcal{X}^{\top}\right)$ is the orthogonal complement of $C(\mathcal{X})$ in $\mathbb{R}^n$, i.e., given a vector $b \in \mathbb{R}^n$ it will hold that $x^{\top} b=0$ for all $x \in C(\mathcal{X})$, if and only if $b \in N\left(\mathcal{X}^{\top}\right)$.

## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Angle between two Vectors

$$\cos \theta=\frac{x^{\top} y}{|x||y|}$$

\begin{aligned} |x| \cos \theta_1 & =x_1 ; \quad|y| \cos \theta_2=y_1 \ |x| \sin \theta_1 & =x_2 ; \quad|y| \sin \theta_2=y_2, \end{aligned}

$$\cos \theta=\cos \theta_1 \cos \theta_2+\sin \theta_1 \sin \theta_2=\frac{x_1 y_1+x_2 y_2}{|x||y|}=\frac{x^{\top} y}{|x||y|} .$$

## 统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Column Space and Null Space of a Matrix

$$\operatorname{Im}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} C(\mathcal{X})=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid \exists a \in \mathbb{R}^p \text { so that } \mathcal{X} a=x\right}$$

$$\operatorname{Ker}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} N(\mathcal{X})=\left{y \in \mathbb{R}^p \mid \mathcal{X} y=0\right}$$

REMARK $2.2 N\left(\mathcal{X}^{\top}\right)$是$\mathbb{R}^n$中$C(\mathcal{X})$的正交补，也就是说，给定一个向量$b \in \mathbb{R}^n$，对于所有$x \in C(\mathcal{X})$，当且仅当$b \in N\left(\mathcal{X}^{\top}\right)$，它将保持$x^{\top} b=0$。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。