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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone functions

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone functions

Let $I \subset \mathbb{R}$ be an interval. A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone increasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)$. $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone decreasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right) \geq f\left(x_2\right)$.

A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone on $I$ if $f$ is either monotone increasing or monotone decreasing on $I$.

A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be strictly increasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $x_1f\left(x_2\right)$.

A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be strictly monotone on $I$ if $f$ is either strictly increasing or strictly decreasing on $I$.
Let $I=[a, b]$ be a closed and bounded interval.
A function $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be monotone increasing on $I$ if $x_1, x_2 \in I$ and $a \leq x_10, k f$ is monotone increasing (decreasing) on $I$.
(iii) if $k \in \mathbb{R}$ and $k<0, k f$ is monotone decreasing (increasing) on $I$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Even function, odd function

For $a \in \mathbb{R}^*$, let $D$ be the symmetric interval $(-a, a)$.
A function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be an even function if $f(-x)=f(x)$ for all $x \in D$.

A function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be an odd function if $f(-x)=-f(x)$ for all $x \in D$.

For example,the functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $f(x)=x^2, f(x)=$ $\cos x$ are even functions on $\mathbb{R}$ and defined by $f(x)=x, f(x)=$ $\operatorname{sgn} x, f(x)=\sin x$ are odd functions on $\mathbb{R}$.
If $f$ be an odd function on $(-a, a)$ then $f(0)=0$.
Let $f$ be an odd function on $(-a, a)$, for some $a \in \mathbb{R}^*$. If $(x, f(x))$ be a point on the graph of $f$ then $(-x,-f(x))$ is also a point on the graph. It follows that the graph of $f$ is symmetrical about the origin.

Let $f$ be an even function on $(-a, a)$, for some $a \in \mathbb{R}^*$. If $(x, y)$ be a point on the graph of $f$ then $(-x, y)$ is also a point on the graph. It follows that the graph of $f$ is symmetrical about the $y$ axis.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Monotone functions

(iii)如果$k \in \mathbb{R}$和$k<0, k f$是单调的，在$I$上递减(递增)。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。