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# 数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Product Forcing, Systems, Restrictions

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## 数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Product Forcing, Systems, Restrictions

We begin with $\omega_1$-products of $P^$ after which we consider more complicated forcing notions. Definition 5. Let $\mathcal{I}=\omega_1$. This is the index set for the forcing products considered below. Let $\mathbf{P}^$ be the product of $\mathcal{I}$ copies of the set $P^$ (Definition 2), with finite support. That is, $\mathbf{P}^$ consists of all functions $p:|p| \rightarrow P^*$ such that the set $|p|=\operatorname{dom} p \subseteq \mathcal{I}$ is finite.

If $p \in \mathbf{P}^$ then put $F_p(v)=F_{p(v)}$ and $S_p(v)=S_{p(v)}$ for all $v \in|p|$, so that $p(v)=\left\langle S_p(v) ; F_p(v)\right\rangle$. We order $\mathbf{P}^$ componentwise: $p \leq q$ iff $|q| \subseteq|p|$ and $p(v) \leq q(v)$ for all $v \in|q|$. Put
$$F_p^{\vee}(v)=F_{p(v)}^{\vee}=\left{f \mid m: f \in F_p(v) \wedge m \geq 1\right}$$
If $p, q \in \mathbf{P}^$ then define a condition $r=p \wedge q \in \mathbf{P}^$ so that $|p \wedge q|=|p| \cup|q|,(p \wedge q)(v)=$ $p(v) \wedge q(v)$ whenever $v \in|p| \cap|q|$, and if $v \in|p| \backslash|q|$ or $v \in|q| \backslash|p|$, then $(p \wedge q)(v)=p(v)$, resp., $(p \wedge q)(v)=q(v)$. Then Conditions $p, q$ are compatible iff $p \wedge q \leq p$ and $p \wedge q \leq q$.

We consider certain subforcings of the total product almost disjoint forcing notion $\mathbf{P}^*$. This involves the following notion of a system.

## 数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Regular Forcing Notions

Unfortunately, product forcing notions of the form $\mathbf{P}[U]$ ( $U$ being a system in $\mathbf{L}$ ) do not provide us with all the definability effects we need. We will make use of certain more complicated forcing notions $K \subseteq \mathbf{P}^$ in $\mathbf{L}$. To explain the idea, let a system $U \in \mathbf{L}$ satyisfy $|U|=\omega$. Let $G \subseteq \mathbf{P}[U]$ be generic over $\mathbf{L}$. The sets $S_G(v)=S_{G(v)}=\bigcup_{p \in G} S_p(v) \subseteq$ Seq then belong to $\mathbf{L}[G]$, and in fact $\mathbf{L}[G]=\mathbf{L}\left[\left{S_G(v)\right}_{v<\omega}\right]$. As Seq $=\left{s_k: k \geq 1\right}$ (a fixed recursive enumeration, Definition 1), let $a_0[G]=\left{k \geq 1: s_k \in S_0[G]\right}$ and $c={0} \cup a_G(0)$. Consider the model $\mathbf{L}\left[\left{S_G(v)\right}_{v \in c}\right]$. The first idea is to make use of $U\lceil c$, but oops, clearly $c \notin \mathbf{L}$, and consequently $U\lceil c \notin \mathbf{L}$ and $\mathbf{P}[U \mid c] \notin \mathbf{L}$, so that many typical product forcing results do not apply in this case. The next definition attempts to view the problem from another angle. Definition 8 (in L). A set $K \subseteq \mathbf{P}^$ is called a regular subforcing if:
(1) if conditions $p, q \in K$ are compatible then $p \wedge q \in K$;
(2) if $p, q \in K$ then $p\lceil|q| \in K$-but it is not assumed that $p \in K$ necessarily implies $p\lceil c \in K$ for an arbitrary $c \subseteq|p|$;
(3) if $p, q \in \mathbf{P}^, q \leq p$, and $|q|=|p|$ exactly, then $p \in K$ implies $q \in K$; (4) for any condition $p \in \mathbf{P}^$, there exist: a condition $p^* \in \mathbf{P}^$ and a set $d \subseteq\left|p^\right|$ such that $p^* \leq p$, $F_{p^}(v)=F_p(v)$ for all $v \in|p|, F_{p^}(v)=\varnothing$ for all $v \in\left|p^\right| \backslash|p|, p^ \mid d \in K$, and every condition $q \in K, q \leq p^* \mid d$, satisfies $|q| \cap\left|p^\right|=d$, and hence $q$ is compatible with $p^$ and with $p$.

In this case, if $U$ is a system then define $K[U]=K \cap \mathbf{P}[U]$. In particular, if simply $K=\mathbf{P}^$ then $\mathbf{P}^[U]=\mathbf{P}^* \cap \mathbf{P}[U]=\mathbf{P}[U]$

## 数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Product Forcing, Systems, Restrictions

$$F_p^{\vee}(v)=F_{p(v)}^{\vee}=\left{f \mid m: f \in F_p(v) \wedge m \geq 1\right}$$

## 数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Regular Forcing Notions

(1)如果有条件 $p, q \in K$ 是兼容的 $p \wedge q \in K$；
(2)如果 $p, q \in K$ 然后 $p\lceil|q| \in K$——但这并不是假定的 $p \in K$ 必然意味着 $p\lceil c \in K$ 对于任意的 $c \subseteq|p|$；
(3)如果 $p, q \in \mathbf{P}^, q \leq p$，和 $|q|=|p|$ 那就对了 $p \in K$ 暗示 $q \in K$;(4)对于任何条件 $p \in \mathbf{P}^$，存在:一个条件 $p^* \in \mathbf{P}^$ 还有一组 $d \subseteq\left|p^\right|$ 这样 $p^* \leq p$， $F_{p^}(v)=F_p(v)$ 对所有人 $v \in|p|, F_{p^}(v)=\varnothing$ 对所有人 $v \in\left|p^\right| \backslash|p|, p^ \mid d \in K$，每个条件 $q \in K, q \leq p^* \mid d$，满足 $|q| \cap\left|p^\right|=d$，因此 $q$ 兼容 $p^$ 和 $p$．

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。