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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|Sequences of rational numbers

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Sequences of rational numbers

Definition 3.1. A set of ordered rational numbers $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots$ is called a sequence of rational numbers, denoted by $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1}$. The set of all sequences of rational numbers is denoted by $\ell^0(\mathbb{Q})$.

• For any sequence $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in \ell^0(\mathbb{Q})$, it is allowed to have $\xi_n=\xi_m$ for some $n \neq m$.
• Sequence could be a finite one. For convenience hereafter, if $\xi_1, \xi_2, \cdots$, $\xi_k$ is a finite sequence of rational numbers, we define $\xi_n=\xi_k$, for all $n>k$. Therefore, we will only consider infinite sequences.

Definition 3.2. (i) A sequence $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in \ell^0(\mathbb{Q})$ is said to be bounded if there exists a rational number $M>0$ such that
$$\left|\xi_n\right| \leqslant M, \quad \forall n \geqslant 0 .$$
The set of all bounded sequences of rational numbers is denoted by $\ell^{\infty}(\mathbb{Q})$.
(ii) A sequence $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in \ell^0(\mathbb{Q})$ is said to be Cauchy if for any rational number $\varepsilon>0$, there exists an $N \in \mathbb{N}$ such that
$$\left|\xi_j-\xi_k\right|<\varepsilon, \quad \forall j, k \geqslant N .$$ The set of all Cauchy sequences of rational numbers is denoted by $c(\mathbb{Q})$. (iii) Two sequences $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1},\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1} \in \ell^0(\mathbb{Q})$ are said to be equivalent, denoted by $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$, if for any rational number $\varepsilon>0$, there exists an $N \in \mathbb{N}$ such that
$$\left|\xi_n-\eta_n\right|<\varepsilon, \quad \forall n \geqslant N .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|A construction of real numbers

We now introduce the following.
Definition 3.4. (i) For any $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$, define the corresponding equivalent class by
$$\lim \xi_n=\left{\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q}) \mid\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1}\right}$$
Let
$$\mathbb{R}=\left{\lim \xi_n \mid\left{\xi_n\right}_{\geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})\right}$$
Any element in $\mathbb{R}$ is called a real number.
(ii) For any $r \in \mathbb{Q}$, define $\xi_n=r$ for all $n \geqslant 1$. Then $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$, which defines a real number. Thus, in such a sense,
$$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \text {. }$$
Any element in $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ is called an irrational number.
It is clearly that
$$\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1} \Longleftrightarrow \lim \xi_n=\lim \eta_n$$
Hence, we may identify $\lim \xi_n$ with any $\left{\eta_n\right}_{n \geqslant 1}$ which is equivalent to $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1}$. In particular, $\lim \xi_n$ is identified with the sequence $\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1}$. We have the following basic result of reflexivity, symmetry, and transitivity for the real numbers with respect to the equality.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Sequences of rational numbers

.1.定义有序有理数的集合$\xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots$称为有理数序列，用$\left{\xi_n\right}_{n \geqslant 1}$表示。所有有理数序列的集合用$\ell^0(\mathbb{Q})$表示。

3.2.定义(i)如果存在有理数$M>0$，则称数列$\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1} \in \ell^0(\mathbb{Q})$是有界的 $$\left|\xi_n\right| \leqslant M, \quad \forall n \geqslant 0 .$$ 所有有界有理数序列的集合用$\ell^{\infty}(\mathbb{Q})$表示。 (ii)如果对任意有理数$\varepsilon>0$存在一个$N \in \mathbb{N}$，则称一个序列$\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1} \in \ell^0(\mathbb{Q})$是柯西的
$$\left|\xi_j-\xi_k\right|<\varepsilon, \quad \forall j, k \geqslant N .$$所有有理数柯西序列的集合用$c(\mathbb{Q})$表示。(iii)两个序列$\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1},\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1} \in \ell^0(\mathbb{Q})$是等价的，用$\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1}$表示，如果对于任何有理数$\varepsilon>0$，存在一个$N \in \mathbb{N}$使得
$$\left|\xi_n-\eta_n\right|<\varepsilon, \quad \forall n \geqslant N .$$

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|A construction of real numbers

3.4.定义(i)对于任何$\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$，通过定义相应的等价类 $$\lim \xi_n=\left{\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q}) \mid\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1} \sim\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1}\right}$$

$$\mathbb{R}=\left{\lim \xi_n \mid\left{\xi_n\right}{\geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})\right}$$ $\mathbb{R}$中的任何元素都称为实数。 (ii)对于任何$r \in \mathbb{Q}$，为所有$n \geqslant 1$定义$\xi_n=r$。然后$\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1} \in c(\mathbb{Q})$，它定义了一个实数。因此，在这种意义上，
$$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \text {. }$$
$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$中的任何元素都被称为无理数。

$$\left{\xi_n\right}{n \geqslant 1} \sim\left{\eta_n\right}{n \geqslant 1} \Longleftrightarrow \lim \xi_n=\lim \eta_n$$

## MATLAB代写

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